Exercícios Resolvidos de Resistência e Resistividade

Usp - Física 3 – P2 2018.1 -4

Um material condutor de condutividade σ uniforme tem o formato de um semi-círculo de altura L e raios a e b , conforme indicado nas figuras ( a ) e ( b ) , respectivamente. As superfícies localizadas em r = a e r = b são equipotenciais e mantidas a uma diferença de potencial Δ V por uma bateria. Vamos assumir que o potencial elétrico V ( r ) dentro do condutor depende somente da coordenada r , de forma que os efeitos de borda podem ser desprezados.

  1. A bateria fornece uma corrente elétrica I 0 . Assumindo a conservação de corrente, determine o vetor densidade de corrente   j → ( r ) .
  2. Determine o campo elétrico   E → no interior do condutor.
  3. Calcule a resistência do condutor em função de sua condutividade σ e de suas dimensões.

Passo 1

a) Para resolvermos este item, precisamos entender bem qual área a corrente I 0 está atravessando. Para isso, imagine que você está em pé sobre o eixo x e olhando para o plano z y no sentido de - x ^ , como mostrado na figura da esquerda abaixo.

A área que você vai ver a corrente I 0 atravessar é a que está mostrada à direita, cujo vetor área é dado por:

A → = π r L   r ^ .

Como o vetor densidade de corrente vai estar ao longo da direção   r ^ , podemos escrever:

J → r = I 0 A →   r ^ = I 0 π L r   r ^   .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Se o material condutor da questão obedece a lei de Ohm, então vale que   J → r = σ   E → . Nesse caso, o campo elétrico será:

E → = 1 σ   J → r ⇒     E → = I 0 π σ L 1 r   r ^   .

Passo 3

c) Para encontrarmos a resistência do condutor, precisamos encontrar a ddp V a b ≡ V a - V b entre os pontos r = a e r = b . Para calcular V a b , podemos fazer o seguinte cálculo:

V a b ≡ V a - V b = ∫ a b E → ⋅ d l →   .  

Como o campo elétrico está na direção e sentido de   r ^ , podemos considerar também  d r → = d r   r ^ , ou seja,   E → é paralelo a  d l → . Colocando essa informação junto com a expressão para   E → que encontramos no Passo 2 dentro de V a b , teremos:

V a b = I 0 π σ L   ∫ a b d r r ⇒ V a b = 1 π σ L ln ⁡ b a I 0   .

Agora, como a resistência é dada por R = V a b / I 0 , temos, a partir da expressão acima, que seu valor é:

R = 1 π σ L ln ⁡ b a   .

Resposta

  1. J → r = I 0 π L r   r ^   ;
  2. E → = I 0 π σ L 1 r   r ^   ;
  3. R = 1 π σ L ln ⁡ b a   .

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