Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

Ver Teoria

Enunciado

Considere

γ t = 2 2 cos ⁡ 2 t , 3 2 sen ⁡ 2 t , e t - π 8   , 0 ≤   t ≤ π 4

Exiba a equação paramétrica da reta r tangente γ em ( 2,3 , 1 ) .

Passo 1

Primeiro precisamos encontrar o valor de t 0 correspondente ao ponto ( 2,3 , 1 ) :

γ t 0 = 2 2 cos ⁡ 2 t 0 , 3 2 sen ⁡ 2 t 0 , e t 0 - π 8 = ( 2,3 , 1 )

Igualando as coordenadas:

2 2 cos ⁡ 2 t 0 = 2

3 2 sen ⁡ 2 t 0 = 3

e t 0 - π 8 = 1

Pela ultima equação, sabendo que todo número elevado a zero é 1, concluímos que

t 0 - π 8 = 0 ⇒ t 0 = π 8

E esse resultado também satisfaz as outras duas equações.

Passo 2

Agora vamos encontrar a reta tangente γ em ( 2,3 , 1 ) .

Para isso, temos que calcular a derivada de γ :

γ ' t = - 2 2 sen ⁡ 2 t . 2 ,   3 2 cos ⁡ 2 t . 2 , e t - π 8

γ ' t = - 4 2 sen ⁡ 2 t ,   6 2 cos ⁡ 2 t , e t - π 8

Substituindo em t 0 = π 8 , temos

γ ' π 8 = - 4 2 sen ⁡ 2 π 8 ,   6 2 cos ⁡ 2 π 8 , e π 8 - π 8

γ ' π 8 = - 4 2 sen ⁡ π 4 ,   6 2 cos ⁡ π 4 , e 0

γ ' π 8 = - 4 2 2 2 , 6 2 2 2 , 1

γ ' t 0 = - 4 , 6 , 1

Passo 3

Assim, a equação paramétrica da reta tangente a γ em ( 2,3 , 1 ) é

r t = γ t 0 + γ ' t 0 ⋅ t

r t = γ π 8 + γ ' π 8 ⋅ t

r t = ( 2,3 , 1 )   + - 4 , 6 , 1 . t

    t ∈ R

Resposta

r t = ( 2,3 , 1 )   + - 4,6 , 1 . t

    t ∈ R

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = 1 + 2 c o s θ θ = π 3
Mostre que a equação da reta tangente à parábola y 2 = 4 p x no ponto x 0 , y 0 pode ser escrita como y 0 y = 2 p ( x + x 0 ) Onde essa reta tangente intercepta o eixo x ? Use esse fato para desenhar
Encontre d y / d x e d ² y / d x ² ² ². Para quais valores de t a curva é côncava para cima? x = t - l n t y = t + ln ⁡ t
Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes14. r = 3 - 3 c o s θ
a) Encontre a inclinação da reta tangente à trocoide x = r θ - ds e nθ , y = r - d cos ⁡ θ em termos de θ .b) Mostre que, se dr , então a trocoide não tem uma tangente vertical.