Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

UERJ, Análise Vetoria, Lista Profª Joice, questão 5a

Determine a reta normal da curva

γ t = 2 cos 3 t ,   2 sen 3 t

no ponto correspondente a t = π 4

Passo 1

Vamos determinar a reta normal exatamente como o plano normal em Cálculo 2! A diferença é que como estamos num mundo 2D, dessa vez nao teremos um plano, mas uma reta, porque perdemos uma dimensão!

Primeiro, comecemos encontrando esse ponto de tangência. Basta colocar o parâmetro dado na equação da curva!

γ π 4 = 2 cos 3 π 4 , 2 sen 3 π 4

γ π 4 = 2 2 , 2 2

Assim, nosso ponto é

2 2 , 2 2

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Passo 2

Agora, vamos derivar a equação e encontrar o vetor tangente a reta quando o parâmetro é π 4 .

γ t = 2 cos 3 t , 2 sen 3 t

γ ' t = - 6 cos 2 t sen t , 6 sen 2 t cos t

Passo 3

Colocando o parâmetro, fica...

γ ' π 4 = - 6 cos 2 π 4 sen π 4 , 6 sen 2 π 4 cos π 4

γ ' π 4 = - 6 2 2 2 2 2 , 6 2 2 2 2 2 = - 6 2 4 2 2 , 6 2 4 2 2 = - 3 2 2 , 3 2 2

Assim, nosso vetor tangente à curva no ponto dado é - 3 ,   3

Passo 4

Perfeito! Agora temos o vetor tangente à curva no ponto que calculamos   2 2 , 2 2 . Para encontrar a reta normal à curva, basta encontrarmos o vetor perpendicular ao vetor tangente!

Podemos definir um vetor como a diferença entre dois pontos. Portanto, como não sabemos qual é esse vetor normal, mas sabemos que ele passa pelo ponto 2 2 , 2 2 , vamos subtrair este ponto de outro, genérico, que ainda vamos descobrir. Assim, nosso vetor normal é

v n = x - 2 2 ,   y - 2 2

Passo 5

Agora podemos fazer que o produto escalar entre o vetor tangete e normal é 0, pois são perpendiculares:

v t   .   v n = 0

- 3 2 2 , 3 2 2   .   x - 2 2 ,   y - 2 2 = 0

6 4 - 3 x 2 2 + 3 y 2 2 - 6 4 = 0

Continuando a resolver a equação....

- 3 x 2 2 + 3 y 2 2 = 0

x = y

Esse resultado nos diz que qualquer ponto sobre a reta y = x pode ser candidato para outra extremidade do nosso vetor! Perceba que o ponto 2 2 , 2 2   também está nessa reta!! Existem milhões de vetores equivalentes, pasta pegar dois pontos dessa reta e diminuir um do outro!

Passo 6

Vamos, então, parametrizar (esticando ele, pra virar uma reta) nosso vetor (muito simples mesmo)

Como y = x , podemos parametrizar assim:

x = t y = t v n = t , t

porque x e y tem sempre o mesmo valor!!

Passo 7

Para definir uma reta precisamos apenas de um ponto e de um vetor! Pela definição, temos que esticar esse vetor (parametrizando-o), e depois somar um ponto por onde essa reta passe:

R = P + v . t

Como ja temos o vetor normal esticado, basta somar a ele o ponto por onde deve passar, 2 2 , 2 2 .

R = 2 2 , 2 2 + t , t

R = 2 2 + t , 2 2 + t

Resposta

R = 2 2 + t , 2 2 + t

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