Exercícios Resolvidos de Retrato de Fase e Classificação de Ponto Crítico – Caso Não Linear

PUC-RJ, Cálculo 3, P2 2013.1, Questão 1

Considere o sistema abaixo que representa o comportamento de duas espécies( com densidades populacionais x t e y ( t ) ).

E

d x d t = x 0,5 - 1,5 y

d y d t = y ( - 1,5 + x )

a) Determine as singularidades e classifique-as.

b) Esboce as trajetórias do sistema no primeiro quadrante.

c) Suponha que as populações iniciais em um laboratório sejam x 0 = 10 e y 0 = 1 . Interprete a evolução da população no tempo t .

Passo 1

  1. Primeiramente, para determinar as singularidades fazemos
  2. d x d t = 0

    d y d t = 0

    Ou seja,

    x 0,5 - 1,5 y = 0

    y - 1,5 + x = 0

    Resolvendo as equações achamos como solução:

    0,0   e   ( 3 2 , 1 3 )

    Que são as singularidades do sistema.

    Passo 2

    Para classifica-las então vamos achar a matriz jacobiana que é dada por

    J ( x , y ) = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y

    Onde f 1 x , y = x 0,5 - 1,5 y e f 2 x , y = y ( - 1,5 + x ) .

    Então a matriz jacobiana aplicada ao nosso problema fica

    J ( x , y ) = 1 2 - 3 2 y - 3 2 x y - 3 2 + x

    Passo 3

    Agora vamos aplicar a matriz nas nossas singularidades, isto é:

    J 0,0 = 1 2 0 0 - 3 2

    E

    J 3 2 , 1 3 = 0 - 9 4 1 3 0

    Passo 4

    Vamos analisar primeira a matriz referente ao ponto ( 0,0 ) .

    Como é uma matriz diagonal seus autovalores são exatamente o elementos da diagonal, ou seja:

    λ 1 = 1 2

    λ 2 = - 3 2

    Portanto, como são dois autovalores reais e diferentes temos que o ponto 0,0 é um ponto de sela.

    Passo 5

    Agora vamos analise a outra matriz referente ao ponto 3 2 , 1 3 .

    Os autovalores são dados por

    - λ - 9 4 1 3 - λ = 0

    ⇒ λ 2 + 3 4 = 0

    ⇒ λ = ± 3 2 i

    Ou seja, temos dois autovalores complexos com parte real nula o que caracteriza um ponto de centro.

    Passo 6

  3. Bom, vimos na questão anterior que que o ponto 0,0 é um ponto de sela e o ponto 3 2 , 1 3 é um ponto de centro.
  4. E as separatrizes do retrato de fase são as retas

    y = 1 3

    x = 3 2

    Portanto, no primeiro quadrante em torno de ( 0,0 ) temos uma sela e em torno de 3 2 , 1 3   temos um centro.

    Passo 7

  5. Agora usamos as condições inicias x 0 = 10 e y 0 = 1 e queremos interpretar a evolução das populações no tempo t .

Como as coordenadas das condições iniciais são positivas, significa que a trajetória associada é fechada.

Mas o que isso significa??

Significa que a trajetória é periódica, isto é, se X t for essa trajetória então existe um T > 0   tal que X t + T = X ( t ) para todo t real.

Isso implica que a evolução das duas espécies é periódica no tempo, sem que nenhuma delas desapareça.

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Resposta

  1. 0,0 é um ponto de sela e 3 2 , 1 3 é um ponto de centro.

c) Isso implica que a evolução das duas espécies é periódica no tempo, sem que nenhuma delas desapareça.

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