Exercícios Resolvidos de Rolamento com Deslizamento

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 319-13.

Um jogador de boliche arremessa uma bola de raio Equation ao longo de uma pista. A bola (Fig. 11-37) desliza sobre a pista com velocidade inicial Equation e a velocidade angular inicial Equation . O coeficiente de atrito cinético entre a bola e a pista é Equation . A força de atrito cinético Equation , que age sobre a bola produz uma aceleração linear e uma aceleração angular. Quando a velocidade Equation diminui o suficiente e a velocidade angular Equation aumenta o suficiente, a bola pára de deslizar e passa a rolar suavemente. (a) Qual é o valor de Equation em termos de Equation nesse instante? Durante o deslizamento, quais são (b) a aceleração linear e (c) a aceleração angular da bola? (d) Por quanto tempo a bola desliza? (e) Que distância a bola desliza? (f) Qual é a velocidade linear da bola quando começa a rolar suavemente?

Passo 1

Como dito no enunciado, o movimento da bola é dividido em duas partes:

  • Deslizamento: A força de atrito age diminuindo a velocidade linear e aumentando a velocidade angular, até esta última chegar no valor certo para a bola começar a rolar;
  • Rolamento: A força de atrito cinético deixa de agir e a bola entra em um movimento regular de translação e rotação.

Se a velocidade linear e a velocidade angular estão mudando, temos aceleração linear e aceleração angular agindo! Vamos fazer o diagrama de corpo livre da bola pra tentar entender:

Agora vamos analisar como essas forças agem em cada movimento: rotação e translação.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na translação, temos que a bola não se move na vertical, portanto, pela primeira lei de Newton:

Equation

Vamos arbitrar que o eixo Equation cresce para a direita, no mesmo sentido da velocidade inicial da bola. Portanto, usando a segunda lei de Newton no eixo horizontal:

Equation

Equation é a força de atrito cinético, portanto, tem valor constante:

Equation

E então:

Equation

Substituindo os valores:

Equation

Isso responde a letra (b), mas vamos guardar o nosso resultado!

Passo 3

Já para a rotação, temos que, em relação ao centro de massa da esfera, somente a força Equation realiza torque, portanto:

Equation

Sabemos que Equation tem valor constante:

Equation

Se usarmos a segunda lei de Newton da rotação:

Equation

O momento de inércia da esfera é tabelado:

Equation

Portanto:

Equation

E conseguimos o valor para a aceleração angular:

Equation

Substituindo os valores:

Equation

Isso responde a letra (c)!

Passo 4

Aprendemos que a característica principal do rolamento sem deslizamento é:

Equation

Substituindo os valores:

Equation

Isso nos responde a letra (a)!

Passo 5

Agora nós temos a relação entre Equation e Equation , bem como essas duas grandezas variam com o tempo, saca só:

Equation

Equation

Juntando tudo, temos:

Equation

Dessa equação, já temos os valores de:

  • Equation , dado no enunciado, é igual a Equation
  • Equation , encontrado no Passo 2, é igual a Equation
  • Equation , dado no enunciado, é igual a Equation
  • Equation , encontrado no Passo 3, é igual a Equation

Substituindo os valores:

Equation

Equation

Show! Estamos quase lá! Isso aí já responde a letra (d).

Passo 6

Com o tempo que a bola fica deslizando, é fácil encontrar as respostas das letras (e) e (f).

Pra descobrirmos a distância, vamos usar a equação clássica da cinemática:

Equation

Com:

  • Queremos descobrir quanto ela andou, portanto, Equation
  • Equation , dado no enunciado, é igual a Equation
  • Equation , encontrado no Passo 2, é igual a Equation
  • Equation , encontrado no Passo 5, é igual a Equation

Substituindo tudo:

Equation

Equation

Respondendo, assim, a letra (e).

Passo 7

É agora hein! Pra terminar! Só usar mais uma equação clássica da cinemática:

Equation

Onde:

  • Equation , dado no enunciado, é igual a Equation
  • Equation , encontrado no Passo 2, é igual a Equation
  • Equation , encontrado no Passo 5, é igual a Equation

Substituindo:

Equation

Equation

Fechou! Respondemos o que faltava.

Resposta

  1. Equation
  2. Equation
  3. Equation
  4. Equation
  5. Equation
  6. Equation

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