Exercícios Resolvidos de Rolamento sem Deslizamento

Rotação, Dinâmica de Rotação

Um cilindro homogêneo de massa M e raio 2 R está em repouso sobre o topo de uma mesa. Um fio é ligado por meio de um suporte duplo preso às extremidades de um eixo sem atrito passando pelo centro do cilindro de modo que o cilindro pode girar em torno do eixo. O fio (inextensível e de massa desprezível) passa sobre uma polia em forma de disco de massa M e raio R montada em um eixo sem atrito que passa pelo seu centro. Um bloco de massa M é suspenso na extremidade livre do fio. O fio não desliza sobre a polia e o cilindro rola sem deslizar sobre o topo da mesa. O sistema é liberado a partir do repouso.

Expresse seus resultados em termos dos dados do problema ( M e R ) e da aceleração da gravidade g .

(a) Esboce diagramas de corpo livre (indicando as forças atuantes) do cilindro, da polia e do bloco.

(b) Calcule a aceleração do bloco.

(c) Determine o módulo do torque resultante na polia.

(d) Calcule o coeficiente de atrito estático entre o cilindro e a mesa.

Dados: polia de massa m p e raio R p , eixo perpendicular ao plano do disco passando pelo centro: I p = m p R p 2 2 . Cilindro de massa m c e raio R c , eixo central I c = m c R c 2 2 .

Passo 1

(a)

Para desenhar esse diagrama temos que ficar atento que as trações nos dois lados da polia são diferentes! E que a direção da força normal na polia é contraria ao apoio que a sustenta que está na diagonal. Muito bem, ficando atento a isso. Montamos o seguinte diagrama:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b)

Como todos os objetos estão conectados por uma corda de massa desprezível, a aceleração dos três será a mesma. Então vamos aplicar a lei de rotação τ → = I α e de translação F → = m a .

Para o cilindro, temos:

Aplicando a lei de translação:

F = m . a

T 1 - F a t = M . a

T 1 = M . a + F a t

Aplicando a lei de rotação:

τ = I . α

Lembrando que τ = F . d :

F a t . 2 R = I c . α c

( 2 R ) . F a t = 1 2 M . 2 R 2 . α c

F a t = M . R . α c

Como o cilindro rola sem deslizar, podemos utilizar a relação:

a = α . R

a = α c . 2 R

α c = a 2 R

Então a segunda equação fica:

F a t = M . R . α c

F a t = M . R . a 2 R

F a t = M a 2

Substituindo na equação que encontramos para a translação teremos:

T 1 = M . a + F a t

T 1 = M . a + M a 2

T 1 = 3 2 M . a  

Para a polia, temos:

Aplicando a lei de rotação τ → = I α → temos:

τ = I α

Lembrando que τ = F . d , e no caso da polia temos forças aplicando torque em sentidos contrários, então teremos:

T 2 - T 1 . R = I p . α p

T 2 - T 1 . R = M R 2 2 . α p

( T 2 - T 1 ) = M . R . α p 2  

Como a corda não desliza sobre a polia, podemos aplicar a relação:

a = α . R

a = α p . R

α p = a R

Logo, substituindo:

( T 2 - T 1 ) = M . R . a R 2

( T 2 - T 1 ) = M a 2

Substituindo a equação que achamos para o cilindro temos:

T 2 - T 1 = M a 2

T 2 - 3 2 M . a   = M a 2

T 2 = 2 M . a

E por fim, analisando o bloco, temos:

Aplicando a lei de translação F → = m . a → temos:

F = m . a

P b - T 2 = M . a

M . g - T 2 = M . a

Substituindo o valor de T 2 que achamos ao analisar a polia, temos:

M . g - T 2 = M . a

M . g - 2 . M . a = M . a

3 a = g

a = g 3

Passo 3

(c)

Da equação da lei de rotação que usamos para a polia, temos que:

τ = I p . α p

Substituindo α p = a R temos:

τ = M R 2 2 . a R

τ = 1 2 M . a . R

Substituindo a aceleração que achamos no item anterior:

τ = 1 2 M . g 3 . R

τ = 1 6 M . g . R

Passo 4

d)

Da equação que encontramos para o cilindro no item b , temos que:

F a t = M a 2

Como a = g 3 , temos:

F a t = M . g 6

A força de atrito é dada por:

F a t = μ . N

Então o coeficiente de atrito estático será dado por:

μ = F a t N

Substituindo F a t = M g 6   e N = M g

μ = M g 6 M g

μ = 1 6

Resposta

  1. a = g 3
  2. τ = 1 6 M . g . R
  3. μ = 1 6

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas