Exercícios Resolvidos de Série alternada

USP, Cálculo 4, P-SUB - 2017, Questão 1b

Determinar se as séries abaixo são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:

n = 0 - 1 n e n 2 n !

Passo 1

Vamos começar aplicando teste da razão para ver se conseguimos tirar alguma conclusão. Assim, temos:

lim n a n + 1 a n = lim n e n + 1 2 n + 1 ! e n 2 n ! = l i m n   n ! n + 1 ! e n + 1 2 e n 2

Agora vamos simplificar a razão com fatorial e também distribuir a exponencial do numerador:

= l i m n   1 n + 1 e n 2 + 2 n + 1 e n 2 = l i m n   1 n + 1 e n 2 e n 2 e 2 n + 1 = l i m n   e 2 n + 1 n + 1

Para resolver esse limite, vamos usar a regra de L’Hôpital:

l i m n   e 2 n + 1 n + 1

l i m n   e 2 n + 1 n + 1 = l i m n   e 2 n + 1 ' n + 1 ' = l i m n 2 e 2 n + 1 1 > 1

Assim, pelo teste da razão, essa série aí não vai ser absolutamente convergente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, mas precisamos saber se é condicionalmente convergente, para isso, usamos o teste da série alternada. Para satisfazê-lo, é necessário que para

n = 0 - 1 n e n 2 n ! = n = 0 - 1 n b n ,

tenhamos

b n > b n + 1   n

lim n b n = 0 .

Bem, vamos tentar atacar esse primeiro critério. Se temos

b n > b n + 1

Então, como b n > 0 :

b n + 1 b n = e n + 1 2 n + 1 ! e n 2 n ! < 1

Então, aplicando o limite, precisamos que

l i m n e n + 1 2 n + 1 ! e n 2 n ! 1

Só que, pelo passo anterior, vimos justamente que esse limite vai para infinito. Portanto, essa série não atende os critérios da série alternada e irá divergir.

Resposta

Diverge.

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