Exercícios Resolvidos de Série alternada

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G2 - 2017.2, Questão 2b

Determine se a sentença abaixo é verdadeira ou falsa:

  1. Se n = 1 a n converge, então n = 1 - 1 n a n converge.

Passo 1

Temos a tese:

n = 1 a n   c o n v e r g e

E a hipótese:

n = 1 - 1 n a n   c o n v e r g e

Para entender o que acontece aqui, vamos considerar a serie harmônica:

n = 1 1 n

Que diverge. E a série harmônica alternada:

n = 1 - 1 n n

Que converge. O ponto chave aqui é ver que nada foi afirmado com relação ao sinal do termo a n . Logo, podemos ter: a n < 0

Para algum n . Em especial, se tomarmos: a n = - 1 n n

Então:

n = 1 - 1 n n

É a série harmônica alternada e irá convergir seguindo a tese. Porém:

- 1 n a n = - 1 n - 1 n n = - 1 2 n n = 1 n

Portanto:

n = 1 - 1 n a n = n = 1 1 n

Que diverge contradizendo a hipótese. Assim, concluímos que a afirmativa é falsa.

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Resposta

falsa.

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