Exercícios Resolvidos de Série alternada

UFRJ, Cálculo 4, PF - 2018.1, Questão 1a

Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da série abaixo.

m = 1 - 1 m m 3 m 5 + 1

Passo 1

Aqui temos uma série alternada com razão de polinômios cuja diferença entre o grau do denominador para o grau do numerador dá 2 .

Assim, podemos comparar a série absoluta correspondente

m = 1 - 1 m m 3 m 5 + 1 = m = 1 m 3 m 5 + 1

com a p - série com m = 2 :

m = 1 1 m 2

Para fazer esta comparação, usamos o teste da comparação no limite:

lim m m 3 m 5 + 1 1 m 2 = l i m m m 5 m 5 + 1

Dividimos pelo polinômio de maior grau: l i m m m 5 m 5 + 1 = l i m m m 5 m 5 m 5 m 5 + 1 m 5 = l i m m 1 1 + 1 m 5 = 1 1 + 0 = 1

Como o limite deu um número então as duas séries convergem ou divergem. A p -série que usamos é convergente, portanto

m = 1 m 3 m 5 + 1

converge. Assim, a série

m = 1 - 1 m m 3 m 5 + 1

converge absolutamente e, consequentemente, converge condicionalmente também.

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Resposta

m = 1 - 1 m m 3 m 5 + 1

converge absolutamente.

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