Exercícios Resolvidos de Série alternada

UFRJ, Cálculo 4, P1 - 2015.1, Questão 1a

Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência das séries abaixo:

n = 1 - 1 n n 2 e - n

Passo 1

Ele quer a convergência dessa série, a primeira coisa que vamos fazer é analisar a convergência absoluta dessa série. Ou seja, temos que analisar

n = 1 - 1 n n 2 e - n = n = 1 n 2 e - n

Bem, olhando para essa série, temos uma potência e um termo n 2 , parece uma boa usar o Teste da Razão, não é? Temos:

a n = n 2 e - n

a n + 1 = ( n + 1 ) 2 e - n - 1

Aplicando o teste:

lim n a n + 1 a n = lim n ( n + 1 ) 2 e - n - 1 n 2 e - n =

= lim n n + 1 2 e - 1 n 2 =

= lim n e - 1 n 2 1 + 1 n 2 n 2 =

= lim n e - 1 1 + 1 n 2 = e - 1 < 1

Logo, pelo Teste da razão, a série é absolutamente convergente.

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Resposta

A série converge absolutamente.

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