Exercícios Resolvidos de Série e Polinômio de Taylor

Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 15, exercício 7

Seja f x = x 3 .

a Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 P 2 x em torno de x 0 = 0 .

b Encontre um limitante para o erro e o erro exato de P 2 0.5 .

c Repita o item a usando x 0 = 1 .

d Repita o item b usando o polinômio do item c .

Passo 1

a Temos:

f x = x 3

f ' x = 3 x 2

f ' ' x = 6 x

f 3 x = 6

Encontrando o polinômio com n = 2 , x 0 = 0 :

P 2 x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2

P 2 x = 0 + 0 + 0 = 0

Que resultado bunda haha. Nosso polinômio é 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Um limitante para o erro é:

E x max k x 0 , x f n + 1 k n + 1 ! x - x 0 n + 1

Nesse caso,

E 0.5 max k 0,0.5 f 3 k 3 ! 0.5 - 0 3

E 0.5 6 6 0.5 3 = 0.125

E o erro exato foi de:

E A 0.5 = f 0.5 - P 2 0.5 = 0.125 - 0 = 0.125

Ou seja, o erro coincidiu com nosso limitante do erro.

Passo 3

c Agora queremos o polinômio para o caso onde n = 2 , x 0 = 1 :

P 2 x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2

P 2 x = 1 + 3 x - 1 + 6 2 x - 1 2

P 2 x = 3 x 2 - 3 x + 1

Passo 4

d O limitante para o erro é dado por:

E x max k x 0 , x f n + 1 k n + 1 ! x - x 0 n + 1

Nesse caso,

E 0.5 max k 0.5,1 f 3 k 3 ! 0.5 - 1 3

E 0.5 6 6 - 0.5 3 = - 0.125

Como só nos interessamos pelo módulo:

E 0.5 0.125

E o erro exato foi de:

E A 0.5 = f 0.5 - P 2 0.5 = 0.125 - 0.25 = 0.125

Acabou dando o mesmo erro haha. De novo coincidindo com o limitante.

Resposta

a P 2 x = 0

E 0.5 0.125

E A 0.5 = 0.125

b

P 2 x = 3 x 2 - 3 x + 1

E 0.5 0.125

E A 0.5 = 0.125

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