Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

PUC - Rio; Cálculo 4 (MAT1154); P1 de 2019.2

Questão 4:

  1. Determine se a seguinte série é convergente.
  2. ∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n 6 2 n 2 n !

  3. Caso a série seja convergente, encontre seu valor.

Passo 1

Ora, no exercício 2 desta prova, vimos quem era a representação em série de Taylor da função seno centrado no valor π / 2 :

sin ⁡ x - π 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ! x - π 2 2 n

Ainda vimos que o raio de convergência dessa função era infinito!

Agora vejam que a série que temos que verificar é lembra bem a série desse seno:

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n 6 2 n 2 n !

Se chegarmos a algo parecido com o que temos ali no seno, a gente é capaz de falar que a série converge (a série do seno converge sempre) e ainda vamos poder calcular esse valor como é pedido no item b . Vamos nessa?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra A:

Veja que podemos pegar esse π 2 n / 6 2 n e colocar dentro de um único parêntese...

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n 6 2 n 2 n ! =

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ! π 6 2 n

Agora, se fizermos...

x - π 2 = π 6

Isolando x ...

x = π 6 + π 2

Tirando o MMC...

x = 2 π + 6 π 12 =

8 π 12 =

3 π 4

Então veja que de fato encontramos um x tal que...

sin ⁡ x - π 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ! x - π 2 2 n

É igual a série que buscamos...

∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n 6 2 n 2 n !

Logo, essa série converge, pois o raio de convergência da série de Taylor para o seno é infinito.

Passo 3

L e t r a   B :

Para encontrar o valor dela, basta substituir x - π 2 = π 6 ...

sin ⁡ π 6 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ! π 6 2 n

Como seno de 30 ° é 1 / 2 ...

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ! π 6 2 n = 1 2

Resposta

Letra A: Converge.

Letra B: Converge para...

1 2

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