Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

PUC Rio; Cálculo 4; Prova G2 de 2019.1

Questão 3 (Justifique todas as suas respostas):

Escreva a função

f x = x 2 ln ⁡ 1 + x

como uma série de potências e determine seu raio de convergência.

Passo 1

Para começar o nosso problema, vamos escrever a função f em função de g x de forma que...

f x = x 2 g x

Onde g x = ln ⁡ 1 + x .

Eu fiz essa separação para facilitar a vida, já que a série de l n não é conhecida, mas a da sua derivada é! (e não queremos derivar um produto com x 2 ne). Por isso a separação, sacou? Então vamos buscar quem é a g x em função de série, primeiro!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A série de g x = ln ⁡ 1 + x não é de fato algo que a gente memoriza antes da prova, mas a série de sua derivada...

g ' x = 1 1 + x

É sim algo que a gente sabe de có: a série geométrica...

∑ n = 0 ∞ r n = 1 1 - r

No nosso caso, substituindo r por - x ...

g ' x = 1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ - x n =

∑ n = 0 ∞ - 1 n x n

Ora, temos g ' x em função de série. Entretanto, temos que encontrar o g x . Como podemos fazer agora? SIM! Integrar de ambos os lados:

g ' x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n     →

∫ g ' x   d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n   d x   →

g x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n   d x   →

Ora, como a série converge, podemos trocar a ordem da integral com o somatório:

g x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ∫ x n   d x   →

g x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n + 1 n + 1     + K

Essa constante K é a constante de integração (afinal calculamos uma integral indefinida). Podemos encontrar o seu valor lembrando-se de que g x = ln ⁡ 1 + x e que...

g 0 = ln ⁡ 1 = 0

Então...

g 0 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 0 n + 1 n + 1     + K   →

0 = ∑ n = 0 ∞ 0     + K   →

0 = K

Então concluímos que g x é em série...

g x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n + 1 n + 1

Passo 3

Podemos voltar para onde paramos, ou seja...

f x = x 2 g x

Então, multiplicando a série por x 2 ...

f x = x 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n + 1 n + 1 =

∑ n = 0 ∞ - 1 n x n + 1 ⋅ x 2 n + 1

Então, concluímos que a série é...

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n + 3 n + 1

Passo 4

Só falta determinar o raio de convergência da série. Sabemos pela teoria que podemos encontrar o raio R de uma série calculando L , onde L é o limite que satisfaz o teste da razão:

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Onde L deve ser menor que 1 para a convergência. a n é o termo:

a n = - 1 n x n + 3 n + 1

Então...

L = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x n + 4 n + 2 - 1 n x n + 3 n + 1     →

L = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x n + 4 n + 2 ⋅ n + 1 - 1 n x n + 3   →

Como A a + b = A a A b ...

L = lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 2 ⋅ - 1 n - 1 x n x 4 - 1 n x n x 3   →

L = lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 2 ⋅ - 1 x   →

L = lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 2 ⋅ - 1 ⋅ x   →

Como n é positivo e módulo de - 1 é 1 ...

L = x lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 2   →

Dividindo doto mundo dentro do limite por n ...

L = x lim n → ∞ ⁡ n n + 1 n n n + 2 n   →

L = x lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 1 + 2 n   →

L = x ⋅ 1

Sabemos que para convergir, L tem que ser menor que 1 , logo...

x < 1

E o raio de convergência aqui é R = 1 .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n + 3 n + 1

E

R = 1

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