Exercícios Resolvidos de Sistemas de EDO

Ver Teoria

Enunciado

Utilize a transformada de Laplace para determinar funções x t , y t satisfazendo x 0 = 0 y 0 = 1 / 2 e:

d x d t = 4 x - 2 y + 2 U t - 1

d y d t = 3 x - y + U t - 1

Passo 1

Vamos escrever o sistema de uma forma mais simplificada:

x ' = 4 x - 2 y + 2 U t - 1

y ' = 3 x - y + U t - 1

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas equações: L x ' = L 4 x - 2 y + 2 U t - 1

L y ' = L 3 x - y + U t - 1

Vamos considerar L y = Y s e L x = X s para facilitar a escrita e lembremos que: L x ' = s X s - x 0

L y ' = s Y s - y 0

Substituindo os valores dado no enunciado: L x ' = s X s

L y ' = s Y s - 1 2

Beleza, então a primeira equação vai ficar:

L x ' = L 4 x - 2 y + 2 U t - 1

s X s = 4 L x - 2 L y + 2 L U t - 1

s X s = 4 X s - 2 Y s + 2 e - s s

Vamos deixar X s e Y s dispostos como variáveis de um sistema qualquer:

s - 4 X s + 2 Y s = 2 e - s s

Agora vamos olhar para a segunda equação: L y ' = L 3 x - y + U t - 1

s Y s - 1 2 = 3 L x - L y + L U t - 1

s Y s - 1 2 = 3 X s - Y s + e - s s

- 3 X s + s + 1 Y s = e - s s + 1 2  

Então, temos o seguinte sistema: s - 4 X s + 2 Y s = 2 e - s s - 3 X s + s + 1 Y s = e - s s + 1 2

Vamos resolvê-lo.

Passo 2

Para resolver esse sistema, vamos escrever Y s em função de X s . Pela primeira equação: Y s = e - s s - 1 2 s - 4 X s

Agora, vamos substituir na segunda equação: - 3 X s + s + 1 Y s = e - s s + 1 2

- 3 X s + s + 1 e - s s - 1 2 s - 4 X s = e - s s + 1 2

- 3 X s + e - s + e - s s - 1 2 s + 1 s - 4 X s = e - s s + 1 2

- 3 X s + e - s - 1 2 s 2 - 3 s - 4 X s = 1 2

Multiplicando os dois lados por - 2

6 X s - 2 e - s + s 2 - 3 s - 4 X s = - 1

s 2 - 3 s + 2 X s = 2 e - s - 1

Assim, isolando X s :

X s = 2 e - s - 1 s - 1 s - 2 = 2 1 s - 1 s - 2 e - s - 1 s - 1 s - 2

Substituindo em Y s :

Y s = e - s s - 1 2 s - 4 X s

Y s = e - s s - 1 2 s - 4 1 s - 1 s - 2 ⋅ 2 e - s - 1 s - 1 s - 2

Y s = e - s s + - s - 4 s - 1 s - 2 ⋅ e - s + 1 2 ⋅ s - 4 s - 1 s - 2

Agora, vamos determinar as inversas e resolver o problema.

Passo 3

X s = 2 e - s - 1 s - 1 s - 2 = 2 1 s - 1 s - 2 e - s - 1 s - 1 s - 2

Para calcular, vamos determinar

1 s - 1 s - 2

Por frações parciais. Para isso, temos: 1 s - 1 s - 2 = A s - 1 + B s - 2

Juntando tudo:

A s - 1 + B s - 2 = A s - 2 + B s - 1 s - 1 s - 2

= A + B s + - 2 A - B s - 1 s - 2 = 0 s + 1 s - 1 s - 2 Comparando, temos o sistema:

A + B = 0 - 2 A - B = 1

Resolvendo o sistema, temos: A = - 1 ; B = 1

Logo:

1 s - 1 s - 2 = 1 s - 2 - 1 s - 1

Assim, X s vai ficar:

X s = 2 1 s - 1 s - 2 e - s - 1 s - 1 s - 2

X s = 2 1 s - 2 e - s - 2 1 s - 1 e - s - 1 s - 2 + 1 s - 1

Então, vamos ter:

x t = L - 1 2 1 s - 2 e - s - 2 1 s - 1 e - s - 1 s - 2 + 1 s - 1

x t = 2 L - 1 1 s - 2 e - s - 2 L - 1 1 s - 1 e - s - L - 1 1 s - 2 + L - 1 1 s - 1

Temos que:

L - 1 1 s - 2 = e 2 t

L - 1 1 s - 1 = e t

Para:

L - 1 1 s - 2 e - s

L - 1 1 s - 1 e - s

A exponencial faz com o que o degrau apareça e que a função inversa esteja deslocada, ficando:

L - 1 1 s - 2 e - s = e - 2 t - 1 U t - 1

L - 1 1 s - 1 e - s = e - t - 1 U t - 1

Assim, temos: x t = 2 e - 2 t - 1 U t - 1 - 2 e - t - 1 U t - 1 - e 2 t + e t  

Vamos encontrar y t agora.

Passo 4

Vimos que:

Y s = e - s s + - s - 4 s - 1 s - 2 ⋅ e - s + 1 2 ⋅ s - 4 s - 1 s - 2

Vamos tentar achar:

s - 4 s - 1 s - 2

Por frações parciais. É bem parecido com o anterior, basta mudar as constantes do sistema:

A + B = 0 - 2 A - B = 1

Para 1 s - 4 → 1 e 4 respectivamente: A + B = 1 - 2 A - B = 4  

Assim, o resultado será: A = - 5 ; B = 6

E teremos: Y s = e - s s - s - 4 s - 1 s - 2 ⋅ e - s + 1 2 ⋅ s - 4 s - 1 s - 2  

Y s = e - s s + 5 1 s - 2 e - s - 6 1 s - 1 e - s ⋅ e - s - 5 2 ⋅ 1 s - 2 + 3 1 s - 1

Então, seguindo a mesma lógica anterior, vamos ter:

y t = U t - 1 + 5 e - 2 t - 1 U t - 1 - 6 e - t - 1 U t - 1 - 5 2 e - 2 t + 3 e - t

Pronto!

Resposta

x t = 2 e - 2 t - 1 U t - 1 - 2 e - t - 1 U t - 1 - e 2 t + e t  

y t = U t - 1 + 5 e - 2 t - 1 U t - 1 - 6 e - t - 1 U t - 1 - 5 2 e - 2 t + 3 e - t

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso. 1 * 1 = _ _ _ _ _
Nos problemas 29-36, use a transformada de Laplace para resolver a equação dada y ' - 5 y = f ( t ) Em que f t = t 2 ,0 ≤ t1 0 ,t ≥ 1 ,y 0 = 1
Nos problemas 3-24, preencha as lacunas ou responda verdadeiro/falso. L s e n ( 2 t ) u ( t - π )
Use o procedimento exposto no problema 61 para encontrar uma solução para o problema de valor inicial y ' ' + y = sec ⁡ t ,y 0 = 0 ,y ' 0 = 0
Nos problemas 59 e 60 use a transformada de Laplace e o Teorema 7.7 para encontrar uma solução para a equação dada t y ' ' + 2 t y ' + 2 y = 0 ,y 0 = 0