Considere a seguinte equação diferencial:
cuja solu��ão buscaremos na forma de uma série de potências
- Sem determinar a solução, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série.
- Encontre duas soluções e que formam um conjunto fundamental de soluções para a acima.
- Determine a solução geral da .
Passo 1
Letra a) “Caraca! Que exercício foda! não vou conseguir! Oh my god!!!”
Calma, man! Quer um bizuzão para quando te cobrar esse tipo de exercício?
Cara, começa sempre buscando primeiro a lei de recorrência... aqueeeela lei que relaciona os os termos , se lembra?
Por que, começar assim?
Porque só sabendo como que um termo se relaciona com o outro que você conseguirá fazer a associação e tirar a informação do raio!
Então bora lá?
Passo 2
Então, para encontrar essa relação à gente vai ter que usar uma informação poderosíssima:
que essa série é resultado daquela EDO!
Agora pensa um pouco comigo: se essa é a resposta da EDO, então ela satisfaz a EDO, certo? Então basta a gente calcular as derivadas dessa resposta que precisa na EDO, ou seja
a segunda derivada (precisamos da primeira então, certo?) e jogar tudo nessa equação da EDO.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada então
A derivada de uma soma é a soma de suas derivadas...
Derivada desse termo aí é a derivada normal em relação a
Cara, como esse primeiro termo vai zerar, você pode elimina-lo caso queira...
Derivando novamente para obter que precisamos pra EDO...
Novamente nota que em , esse termo , então pode colocar variando de (mas você pode deixar mesmo, é só uma questão de comodidade )
Passo 4
Substituindo esses caras na EDO...
EEEEpa! Que coisa gigante, mas calma que isso vai simplificar!
Passo 5
Note que o que estamos querendo fazer é colocar todas essas somas de uma forma semelhante a última ( e , saca?) pra gente poder somar tudo junto.
Pra colocar a primeira delas com começando de e como sendo .
Pra gente fazer isso, podemos chamar aquele , então...
substituindo todos os na primeira, teremos
Pra facilitar, vamos mudar esse nome de pra (só uma questão de nome, ok? )
Passo 6
Quanto à segunda
esse pode passar pra dentro (ele vai cancelar aquele em hehe)
Cara, começar essa soma de dois é opcional. Mas note que aqui é melhor começar do zero mesmo, pra ela ficar semelhante às outras:
(não alteramos o resultado em a soma zera e o mesmo acontece com )
Passo 7
Jogando então, tudo simplificado naquele monstro do passo 4
Essas constantes aí podem entrar
Colocando tudo em uma única soma (só podemos fazer isso, porque todas estão no mesmo estilo, percebe?)
esse negocio só zera se
essa é exatamente a relação de recorrência !
Passo 8
Vamos tentar simplificar mais um pouquinho essa relação...
Colocando em evidência
Efetuando aquele produto de lá
Cara, se você perceber, podemos completar quadrado nesse parênteses aqui , percebeu?
Isolando
Passo 9
Cara, perceba que encontramos a relação entre esses termos que precisávamos!:)
Note que eles se relacionam sempre de em , o que significa que par vai se relacionar só com par e ímpar... só com impar, pegou? (normalmente é isso que vai acontecer mesmo ;D)
Isso quer dizer que a gente vai poder separar a solução do nosso problema em duas partes...
vamos “quebrar” essa soma na soma dos pares com os ímpares
Agora com essa relação em mãos à gente consegue encontrar o raio de convergência da solução, que deve ser o mesmo para essa soma de pares e impares, então você pode escolher só uma série, para fazer a análise, sacou?
No nosso caso aqui a gente vai escolher a série par pra facilitar a vida, neh?
Passo 10
Pow! Como que se encontra um raio de convergência de uma série?
Bem, o método mais rápido é aquele de comparação, se lembra? Éhhh... Teste da razão!
Esse teste nada mais é do que um limite, neh, esse daqui oh
Esse limite tem que ser que pra tudo fazer sentido na nossa vida (rsrs) e para a série convergir também
Esse é o termo geral da série que estamos querendo analisar. Como estamos trabalhando só com a série par da solução
E bem... o termo ...
Voltando com esses caras aí para o limite do teste...
a gente pode simplificar esse em
Cara, agora pensa no seguinte: sempre que o problema te pedir raio de convergência, ele tá interessado no intervalo de , então a gente tem que isolar o aí, pegou?
Como o tá multiplicando e ele nem depende de , a gente pode tira-lo do limite...
passando esse módulo de para o outro lado
Agora invertendo TUDO, tipo: inverte as duas frações, mas quando inverte as frações, o sinal de também gira, veja só
Prontinho, o intervalo de convergência está aí!
Como temos esses termos, e o também o , podemos apenas substituir e ser feliz no calculo do limite ! Bora?
Passo 11
trocando então
teremos
simplificando
Pra calcular esse limite aí a gente pode dividir em cima e embaixo por , se lembra?
Cortando...
Perceba que no infinito, esses números divididos por , vão a...
Ou seja, o raio do intervalo de convergência é... ! !
Passo 12
Letra b) Bem, as duas soluções é aquela própria solução par e a outra, a impar, já que uma a não tem nada a ver com a outra.
Vamos então encontrar esse termo da parte par primeiro:
Sabemos que os termos se relacionam pela relação do passo 8
Substituindo só os par... Verificamos termo por termo até encontramos um padrão, veja só
Epa! O ! Como todos os demais pares dependerão de , todos os demais zerarão percebeu?
Então os únicos termos pares que existe (diferente de zero) é e , portanto será
como queremos uma solução particular, podemos tomar
Passo 13
Vamos então determinar agora os termos impares da outra resposta
fazendo o mesmo, ou seja, substituindo só os termos ímpares aqui
até a gente encontrar um padrão, sacou?
substituindo então o
para
Mais uma rodada...
“Ainda não peguei o padrão”, então mais uma
Percebeu o que está acontecendo?
Em cima, a gente tem um produto de impares que estão se cancelando com os debaixo :
Ficando só os termos
Note que é o número de vezes que você fez a repetição, e é o número ímpar correspondente a: e
O próximo termo ímpar a gente já consegue adivinhar:
E mais uma vez repare que é o número de vezes que você fez a repetição e e
Então de um modo geral, se chamarmos de os números ímpares então
Percebeu?
Logo
Como queremos uma solução particular, podemos escolher
Passo 14
Letra c) A resposta geral é a soma das duas particulares, ou seja:
AH! Mas dessa vez devemos consideras as constantes que não sabemos ok? Ou seja
Resposta
Letra a)
Letra b)
Letra c)
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