Exercícios Resolvidos de Soluções Tabeladas para Condução Transiente

Questão 4, UFRJ, P1-2005.2

Uma placa de aço ( α = 1,7 × 10 - 7   m 2 / s ) , com espessura L = 20   m m , encontra-se inicialmente na temperatura uniforme T i = 240 ° C . As duas superfícies da placa são então mantida na temperatura T s = 40 ° C . Para este problema, considerando propriedades físicas constantes, forneça:

i Formulação matemática;

i i Solução analítica;

i i i Temperatura do centro da placa 10 minutos depois de iniciado o resfriamento.

Passo 1

i Formulação matemática.

Para chegar à formulação matemática, vamos partir da equação de calor, dada por:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k ∂ T ∂ y + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

Vamos fazer as seguintes considerações:

  • Condução de calor unidimensional;
  • Condução transiente;
  • Propriedades constantes;
  • Não há geração térmica.

Assim, a equação de calor pode ser escrita da seguinte forma:

k ∂ 2 T ∂ x 2 = ρ c p ∂ T ∂ t

∂ 2 T ∂ x 2 = ρ c p k ∂ T ∂ t

Para condição inicial, o problema nos disse que:

Como condições de contorno, o problema nos disse que as superfícies são mantidas a 40 ° C . Assim:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

i i Solução analítica;

Nesse caso, como as temperaturas em ambos os lados da placa são iguais, podemos transformar esse problema em homogêneo utilizando θ x , t , tal que:

θ x , t = T x , t - T s

Fazendo isso, a formulação matemática passa a ser dada por:

∂ 2 θ x , t ∂ x 2 = 1 α . ∂ θ x , t ∂ t θ x , t = 0 p a r a   x = 0 θ x , t = 0 p a r a   x = L = 20   m m θ x , t = θ i = 200 ° C p a r a   t = 0

Pelas condições de contorno, este corresponde ao caso 1 da nossa tabela, onde:

ψ λ n , x = sen ⁡ λ n x

1 N = 2 L

Sendo λ n as raízes da seguinte expressão:

sen ⁡ λ n L = 0

Assim, a solução homogênea será dada por:

θ x , t = ∑ n = 1 ∞ 1 N . exp ⁡ - α . λ n 2 t . ψ λ n , x . ∫ 0 L F x . ψ λ n , x . d x

θ x , t = ∑ n = 1 ∞ 2 L exp ⁡ - α . λ n 2 t sen ⁡ λ n x ∫ 0 L θ i sen ⁡ λ n x . d x

Agora é arrumar a casa:

θ x , t = 2 θ i L ∑ n = 1 ∞ exp ⁡ - α . λ n 2 t sen ⁡ λ n x ∫ 0 L sen ⁡ λ n x . d x

Vamos resolver essa integral separadamente:

I = ∫ 0 L sen ⁡ λ n x . d x

I = - cos ⁡ λ n x λ n 0 L

I = 1 - cos ⁡ λ n L λ n

Finalmente, a solução homogênea será:

θ x , t = 2 θ i L ∑ n = 1 ∞ exp ⁡ - α . λ n 2 t sen ⁡ λ n x 1 - cos ⁡ λ n L λ n

Onde λ n é a raiz de:

sen ⁡ λ n L = 0

O seno é nulo para qualquer múltiplo de π . Assim:

λ n L = n π → λ n = n π L

Dessa forma, substituindo na expressão da solução homogênea:

θ x , t = 2 θ i L ∑ n = 1 ∞ exp ⁡ - α n 2 π 2 t L 2 sen ⁡ n π x L 1 - cos ⁡ n π . L n π

Repare que, para valores pares de n , 1 - cos ⁡ n π = 0 e, para valores ímpares, 1 - cos ⁡ n π = 2 . Assim, podemos levar somente em consideração os valores ímpares de n , substituindo o n na equação por 2 n - 1 . Dessa forma:

Substituindo de volta a temperatura T x , t :

Passo 3

i i i Temperatura do centro da placa 10 minutos depois de iniciado o resfriamento.

Como queremos a temperatura no centro da placa, vamos considerar x = 10   m m = 0,01   m . Assim, substituindo os valores, onde:

t = 10   m i n = 600   s

L = 20   m m

T i = 240 ° C

T s = 40 ° C

α = 1,7 × 10 - 7   m 2 / s

Considerando apenas o primeiro termo da série n = 1 , teremos:

T 0,01 ; 600 = 40 + 2 240 - 40 π × exp ⁡ - 1,7 × 10 - 7 × 2 × 1 - 1 2 π 2 × 600 0,02 2 × sen ⁡ 2 × 1 - 1 π × 0,01 0,02 × 2 2 × 1 - 1

Jogando isso tudo na calculadora:

Resposta

i

∂ 2 T ∂ x 2 = 1 α ∂ T ∂ t

T x , t = 240 ° C p a r a   t = 0

T x , t = 40 ° C p a r a   x = 0

T x , t = 40 ° C p a r a   x = L = 20   m m

i i

T x , t = T s + 2 T i - T s π ∑ n = 1 ∞ exp ⁡ - α 2 n - 1 2 π 2 t L 2 sen ⁡ 2 n - 1 π x L 2 2 n - 1  

i i i T 0,01 ; 600 = 60,55 ° C

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