Exercícios Resolvidos de Subespaços Invariantes

Lista 1 para a P3, exercício 5, 2015.1, Álgebra linear I, PUC-rio, adaptado.

Seja λ R um autovalor de T : U U . O autoespaço de T associado a λ é o conjunto

V λ = u U T u = λ u }

Prove que V λ é um subespaço invariante de T .

Passo 1

Para verificar que é um subespaço invariante, precisamos ver se o autoespaço satisfaz a condição de subespaço invariante:

Vamos verificar!

Sejam u 1 , , u k autovetores associados a λ 1 . Sabemos que V λ = s p a n { u 1 , , u k } (lembre-se que o autoespaço contém o vetor nulo!). Então,

T u 1 = λ 1 u 1

T u k = λ 1 u k

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim,

T V λ 1 = T s p a n u 1 , , u k = s p a n T u 1 , , T u k =

= s p a n λ 1 u 1 , , λ 1 u k = s p a n u 1 , , u k = V λ 1

Portanto, se T V λ 1 = V λ 1 , então T V λ 1 V λ 1 , para λ 1 0 .

Se λ 1 = 0 então T V λ 1 = s p a n 0 V λ 1 .

Como V λ 1 U e T V λ 1 V λ 1 ,   V λ 1 é um subespaço invariante.

Passo 3

-

Como a demonstração é válida para cada autovalor em particular, concluímos que V λ U e T V λ V λ , portanto   V λ é um subespaço invariante.

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