Exercícios Resolvidos de Subespaços Invariantes

PUCRIO-P3-2014.1-3d

Seja Equation a reflexão (espelhamento) em relação ao plano Equation e

Equation

A matriz de Equation na base Equation de Equation .

Dê um exemplo de um subespaço vetorial Equation de Equation tal que as duas seguintes condições sejam satisfeitas:

  • Equation não é autoespaço de Equation , mas é invariante por Equation
  • Equation

Passo 1

Equation Uma possível solução é juntar autovetores de autoespaços diferentes, assim esse novo conjunto não é um autoespaço e satisfaz a condição de invariante e da dimensão Equation .

Então vamos achar os autovalores com Equation !

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 3

Para Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 4

Assim, se pegarmos Equation , esse não será o autoespaço de nenhum autovalor e ainda satisfaz a condição de invariante.

Equation

Resposta

Equation

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