Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

USP, Cálculo 1, P3 - 2018, Questão Q01b

1b) Calcule as primitivas abaixo:

x 3 x 2 + 1 d x

Passo 1

Veja bem, temos uma raiz de um polinômio de segundo grau no denominador. Muitas vezes isso cheira à substituição trigonométrica mas como temos um termo ao cubo em cima, uma ideia melhor seria fazer a substituição simples:

u = x 2 + 1

d u d x = 2 x d x = d u 2 x

Ficaremos com:

x 3 x 2 + 1 d x = x 3 u d u 2 x = x 2 2 u d u

É, ainda não foi. Sobrou um x 2 dentro da integral quando mudamos a variável. Mas não se preocupe, tirar ele da raíz é tranquilo, porque se:

u = x 2 + 1

Então:

x 2 = u - 1

A integral fica então:

x 3 x 2 + 1 d x = u - 1 2 u d u

Dividindo essa integral em dois, temos:

u - 1 2 u d u = u 2 u d u - 1 2 u d u

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bora resolver então a primeira integral. Se:

u = u 1 2

Podemos entender a primeira integral como:

u 2 u d u = 1 2 u u 1 2 d u = 1 2 u 1 - 1 2 d u = 1 2 u 1 2 d u

Agora é bem tranquilo da gente resolver porque conhecemos a integral de uma potência de u . Ficamos com:

1 2 u 1 2 d u = 1 2 2 3 u 3 2 = u 3 2 3

Pra segunda integral, a ideia é a mesma, beleza? Reescrevendo ela então, ficamos com:

1 2 u d u = 1 2 1 u 1 2 d u = 1 2 u - 1 2 d u

E resolvendo:

1 2 u - 1 2 d u = 1 2 2 1 u 1 2 = u 1 2

Show, fechamos a integração!

u - 1 2 u d u = u 3 2 3 - u 1 2

Voltando agora pra variável original, temos:

u = x 2 + 1

u 3 2 3 - u 1 2 = x 2 + 1 3 2 3 - x 2 + 1 1 2

E tá respondida a questão! Lembrando sempre da constante de integração, fechamos:

x 3 x 2 + 1 d x = x 2 + 1 3 2 3 - x 2 + 1 1 2 + k

Passo 3

Se quiséssemos usar a substituição trigonométrica, teríamos que usar a substituição

x = tan u

Porque veja bem, se fizermos essa substituição, teremos no denominador da função original:

x 2 + 1 = tan 2 u + 1

E olha só olha lá! Dentro da raiz temos parte de uma identidade trigonométrica:

tan 2 u + 1 = sec 2 x

Beleza, então confirmada essa substituição, reescrevemos a integral para:

d x d u = sec 2 u d x = sec 2 u   d u

x 3 x 2 + 1 d x = tan 3 u sec 2 u sec 2 u   d u = tan 3 u sec u   d u

Essa nova integral pode ganhar uma nova substituição, uma vez que se fizermos:

z = sec u

Teremos:

d z d u = tan u sec u

d z = tan u sec u   d u

Reescrevendo a integral:

tan 3 u sec u   d u = tan 2 u tan u sec u   d u =

= sec 2 x - 1 tan u sec u   d u = z 2 - 1   d z

Resolvendo a integral, ficamos com:

z 2 - 1   d z = z 3 3 - z

Voltando à variável u , temos:

z 3 3 - z = sec 3 u 3 - sec u

Seja:

tan 2 u + 1 = sec 2 x

x 2 + 1 = sec 2 x

Então reescrevemos o resultado:

sec 2 u 3 2 3 - sec 2 u 1 2 = x 2 + 1 3 2 3 - x 2 + 1 1 2

Viu só? Mesmo resultado!

Resposta

x 3 x 2 + 1 d x = x 2 + 1 3 2 3 - x 2 + 1 1 2 + k

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