Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 5, Questão 27

Calcule a integral definida abaixo:

3 4 x 3 x 2 + 3 d x

Passo 1

Nesse caso, vamos resolver nossa integral utilizando uma substituição.

u = x 2 + 3

d u = 2 x   d x

Logo

d x = d u 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicando a substituição na nossa integral

x 3 x 2 + 3   d x = x 3 u 1 2 x d u = 1 2 x 2 u d u

Opa, sobrou um x 2 ali né! Pra substituir ele é mole, veja:

u = x 2 + 3

u - 3 = x 2

Logo temos:

x 3 x 2 + 3   d x = 1 2 u - 3 u d u

Podemos separar em duas integrais

x 3 x 2 + 3   d x = u u d u - 3 u d u

E simplificando um pouco nossa expressão ficamos com

x 3 x 2 + 3   d x = u d u - 3 1 u d u

Passo 3

Integrando ficamos com

x 3 x 2 + 3   d x = u d u - 3 1 u d u

= 1 3 u 3 2 - 3 u 1 2

E desfazendo a substituição ficamos com

x 3 x 2 + 3   d x = 1 3 x 2 + 3 3 / 2 - 3   x 2 + 3

Passo 4

Por fim, aplicando os limites de integração

3 4 x 3 x 2 + 3   d x = 1 3 x 2 + 3 3 / 2 - 3   x 2 + 3

3 4 x 3 x 2 + 3   d x = 1 3 16 + 3 3 2   - 3   16 + 3 - 1 3 16 + 3 3 2 + 3   16 + 3

3 4 x 3 x 2 + 3   d x = 1 3 19 3 2   - 3   19 - 1 3 12 3 2 + 3   12

Simplificando nossa expressão

3 4 x 3 x 2 + 3   d x = 1 3 19 3 2   - 3   19 - 24 3 3 + 18 3 3

3 4 x 3 x 2 + 3   d x = 10 3 19 - 2 3

E chegamos na nossa resposta final!

Resposta

3 4 x 3 x 2 + 3   d x = 10 3 19 - 2 3

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