Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 306-2.

Calcule ∬ S F ⋅ n d S , onde F x   , y ,   z = ( x ,   - 2 y + e x c o s z ,   z + x 2 ) e S   é definida por:

z = 9 - x 2 + y 2     ,               0 ≤ z ≤ 5 z = 5     ,                                       1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 z = 8 - 3 x 2 + y 2   ,       x 2 + y 2 ≤ 1

Com campo de vetores normais exterior a S .

Passo 1

Vamos fazer um desenho da imagem somente para entender melhor o problema!

Fica mais fácil de visualizar o que precisamos fazer!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A superfície S não inclui a base do sólido, o disco x 2 + y 2 ≤ 9 com a normal desta base apontando para fora do sólido, ou seja, na direção negativa do eixo z . Logo, teremos,

∬ S 1   F → . n →   d S + ∬ S   F → . n →   d S = ∭ W   ∇ ⋅ F →   d V

Onde, W é o sólido fechado, S 1 é a “tampa” do sólido e ∂ W é a superfície original. Vamos começar calculando o divergente do campo:

∇ ⋅ F =   ∂ F 1 ∂ x +   ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

∇ ⋅ F = 1 + - 2 + 1 = 0

Assim,

∭ W   ∇ ⋅ F →   d V = 0

Passo 3

Desta forma, pelo Teorema de Gauss, temos:

∬ S 1   F → . n →   d S + ∬ S   F → . n →   d S = 0

∬ S   F → . n →   d S =   - ∬ S 1   F → . n →   d S

Ou seja, para calcular o que pede o enunciado, basta calcular o fluxo que passa pela base. A base é o plano x y limitado pela circunferência x 2 + y 2 ≤ 9 .

Passo 4

Parametrizando a base, temos:

φ x ,   y = ( x ,   y ,   0 )

Como a normal de uma parametrização explícita é:

n → = - ∂ f ∂ x   , - ∂ f ∂ y ,   1

Para a orientação no sentido negativo de z ,

n → = 0   , 0 ,   - 1

Passo 5

Assim, podemos calcular o fluxo na base do sólido,

∬ S 1   F → . n →   d S =   ∬ S 1   x ,   - 2 y + e x c o s z ,   z + x 2 ⋅ 0 ,   0 ,   - 1 d x d y

∬ S 1   F → . n →   d S =   ∬ S 1   - x 2 d x d y

Para resolver esta integral, vamos usar as coordenadas polares,

x = r c o s θ y = r s e n θ

∬ S 1   F → . n →   d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ( - r 2 cos 2 ⁡ θ ) r d r d θ =   ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ( - r 3 cos 2 ⁡ θ ) d r d θ

∬ S 1   F → . n →   d S = ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ - r 4 4 0 3 d θ =   - 81 4 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ

∬ S 1   F → . n →   d S = - 81 4 ∫ 0 2 π 1 + c o s 2 θ 2 d θ  

∬ S 1   F → . n →   d S =   - 81 4 θ 2 + s e n 2 θ 4 0 2 π =   - 81 4 ⋅ 2 π 2

∬ S 1   F → . n →   d S =   - 81 π 4

Resposta

Assim, o fluxo

∬ S   F → . n →   d S =   - ∬ S 1   F → . n →   d S

∬ S   F → . n →   d S = 81 π 4

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