Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

UFRJ, Cálculo 3, PF - 2016.1, Questão 4

Calcule o fluxo

S F d S

Do campo vetorial

F x , y , z = x sen y - y + e z , y + cos y - e z ,   1 - x sen y - cos y

Através da superfície

S = x , y , z x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,   c o m   x + y + z 0

Orientada com vetor normal apontando para fora da esfera.

Passo 1

Bem, dá pra ver que esse campo não é nada tranquilo de integrar pela definição, né? Imagina depois de botarmos a parametrização da esfera... Nem pensar!

Vamos fugir disso usando o teorema de Gauss:

W F d S = W div F d V

Mas a superfície que temos é um parte da esfera só, a parte de cima dessa figura aqui:

Que como não é uma superfície fechada, não podemos aplicar Gauss diretamente, temos que fechar antes.

Mas podemos simplesmente fechar com o plano da figura:

Então vamos ficar com:

S F d S + S 1 F d S = W div F d V

S F d S = W div F d V - S 1 F d S

Então vamos ver se conseguimos calcular essas aí agora!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos comçar com a integral tripla. Apesar do campo ser complicado, o divergente é tranquilo de calcular:

div F = F 1 x + F 2 y + F 3 z

sen y + 1 - sen y + 0 = 1

O que é muito bom, porque nossa integral fica:

W div F d V = W 1 d V

E agora vem um macetinho, mas espero que dê pra entender porque senão fica quase impossível de resolver a questão.

O que a gente tem que perceber é que o plano corta a esfera exatamente na metade, consegue ver? Isso vale pra qualquer plano que passa pela origem que é o que temos nesse caso.

Então vamos ter que:

W 1 d V = V o l u m e D = V e s f e r a 2

W 1 d V = 4 π r 3 3 2 = 2 π 3

Passo 3

Bom, vamos para a integral de superfície agora, lembrando que S 1 é o plano que fecha a esfera, portanto

x + y + z = 0

x 2 + y 2 + z 2 1

Portanto a normal é dada por

N = - 1 , - 1 , - 1

Já que queremos que o vetor aponte para fora da esfera!

F = x sen y - y + e z , y + cos y - e z ,   1 - x sen y - cos y

Aqui vamos ver que, se tentarmos resolver a integral do jeito normal fica bem difícil, vamos ver como fica o produto escalar F . N primeiro:

x sen y - y + e z , y + cos y - e z ,   1 - x sen y - cos y . - 1 , - 1 , - 1 =

= - x sen y + y - e z - y - cos y + e z - 1 + x sen y + cos y

= - 1

Que beleza né? Fica mais simples resolver a integral

= S 1 - 1 d x d y

O que é isso aí? É a área da projeção da superfície no plano x y , se a gente tentar fazer isso fica bem mais complicado!

A nossa superfície S 1 é o círculo de raio 1 dentro da esfera, certo? Essa área sabemos que vale π r 2 = π

Então vamos fazer isso aqui, ao invés de usar o vetor normal N , vamos usar o vetor unitário n . E qual a diferença?

S 1 F . n d S = S 1 F . N d x d y

Onde N = - 1 , - 1 , - 1 , N = 3 , logo

n = 1 3 - 1 , - 1 , - 1

F . n = - 1 3

Com isso

S 1 F . n d S = S 1 1 3 d S = - 1 3 S 1 1 d S

Agora sim! Essa integral aí S 1 1 d S é igual a área da nossa superfície que conhecemos! Logo

- 1 3 S 1 1 d S =

S 1 F . n d S = - 1 3 π = - 3 3 π

Passo 4

Ufa! Voltando pro teorema agora pra fechar

S F d S = W div F d V - S 1 F d S

S F d S = 2 π 3 + 3 3 π

= π 3 2 + 3

Resposta

π 3 2 + 3

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