Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

UFRJ, Cálculo 3, PF - 2015.1, Questão 4

Calcule S   F . n d S , onde F x , y , z = x + arctan y 2 , - 2 y + e x cos z ,   z + 1 e S é a superfície definida por:

z = 9 - x 2 + y 2 ,                                         0 z 5 z = 5 ,                                                               1 x 2 + y 2 4 z = 8 - 3 x 2 + y 2 ,                             x 2 + y 2 1

Com o campo de vetores normais exterior a S .

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço dessas superfícies. Temos um paraboloide virado para baixo z = 9 - x 2 + y 2 cortado em z = 0 e z = 5 , um anel em z = 5 e outro paraboloide z = 8 - 3 x 2 + y 2 :

Repara que todas essas superfícies encaixam bonitinho (pode conferir nas equações delas). Onde termina uma começa a outra.

Foi?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como o campo tem uma expressão meio complicada, nem rola calcular isso aí pela definição. Vamos tentar usar Gauss, ok?

Vamos começr calculando o divergente disso aí:

d i v F = F 1 x +   F 2 y + F 3 z

d i v F = 1 - 2 + 1 = 0

Gente, deu zero, que lindo.

Passo 3

Show, agora vamos aplicar o teorema. Para isso, vamos fechar essa região com esse círculo em z = 0 , ok?

S   F . n d S + C   F . n d S = W   d i v F   d V = 0

Onde W é a região limitada por S + C e as normais às superfícies apontam para fora.

S   F . n d S = - C   F . n d S

Passo 4

Agora, precisamos da integral na disco. Repare que quando o paraboloide encontra o plano z = 0 :

z = 9 - x 2 + y 2 = 0

Temos uma circunferência de raio 3 . Logo, nosso disco tem esse raio. Vamos parametrizá-lo em coordenadas polares:

φ r , θ = ( r cos θ ,   r   s e n   θ , 0 )

Onde 0 θ 2 π e 0 r 3 .

Passo 5

Agora vamos encontrar a normal a essa superfície:

φ r = cos θ ,   s e n   θ , 0

φ θ = - r   s e n   θ ,   r cos θ , 0

φ r × φ θ = i j k cos θ s e n   θ 0 - r   s e n   θ r cos θ 0 = 0,0 , r

Bem, se as normais devem apontar para fora, quer dizer que, no plano, a normal é para baixo. Portanto, queremos o vetor oposto a esse:

φ θ × φ r = 0,0 , - r

Passo 6

Certo, agora vamos usar essa fórmula aqui:

C   F . n d S = D   F φ r , θ . φ θ × φ r d r d θ

F φ r , θ = ? , ? , 1

C   F . n d S = 0 2 π 0 3 ? , ? , 1 . ( 0,0 , - r ) d r d θ

= - 0 2 π 0 3 r d r d θ =

Agora é só resolver

= - 0 2 π r 2 2 0 3 d θ =

= - 9 2 0 2 π d θ =

= - 9 π

Passo 7

Temos então

S   F . n d S = - C   F . n d S = 9 π

Resposta

9 π

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