Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

Um balão esférico esta sendo esvaziado a uma taxa de 4   m 3 / s . Encontre a taxa de decrescimento do raio do balão quando o diâmetro for igual a 10   m .

Passo 1

O volume do balão é dado por

V = 4 π 3 r ³

A taxa de esvaziamento nada mais é do que a derivada do volume em relação ao tempo. Por isso, vamos chama-la de

V ' = - 4

Queremos a taxa de decrescimento do raio quando

D = 10

2 r = 10

r = 5

Portanto, queremos a derivada de r quando r = 5 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Derivando a equação do volume, obtemos uma expressão com a incógnita desejada, r ' .

V ' = 4 π 3 3 r 2 r '

Vamos substituir V ' = - 4 e r = 5 .

- 4 = 4 π 3 3 ( 5 ) ² r '

- 4 = 4 π ( 25 ) r '

- 1 = 25 π r '

r ' = - 1 25 π   m / s

Resposta

r ' = - 1 25 π   m / s

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