Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

Taxas Relacionadas

Sejam f x = x 2 + 1 , com x > 0 e P = a , b um ponto sobre o gráfico de f . Considere a reta r tangente ao gráfico de f no ponto P e Q = ( x , 0 ) o ponto em que r intercepta o eixo 0 x .

( a ) Determine, em termos da abscissa a de P , a abscissa do ponto Q .

Suponha que o ponto P esteja sobre o gráfico de f e que no instante em que P = ( 2,5 ) sua abscissa a esteja se deslocando a uma taxa de variação de 3 unidades por segundo.

( b ) Determine a taxa de variação da abscissa do ponto Q nesse instante.

( c ) Seja α o ângulo que a reta r forma com o eixo 0 x . Determine a taxa de variação de α nesse mesmo instante.

Passo 1

( a ) Para saber onde a reta tangente a f ( x ) corta o eixo x nós precisamos antes de tudo descobrir que reta seria essa, né? Modelando a reta por y - y 0 = m ( x - x 0 ) , sendo m o coeficiente angular da reta que valerá

m = f ' a

Pois a reta tangente passa no ponto P do gráfico, onde x = a e y = b .

Além disso, Lembramos que b corresponderia à função de f a , ou seja, o ponto P na verdade será:

a , f a = a , a 2 + 1

Voltando ao coeficiente angular, temos que f ' x = 2 x . Assim,

m = 2 a

Enfim, se m = 2 a , y 0 = a 2 + 1 e x 0 = a a reta será:

y - a 2 + 1 = 2 a ( x - a )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Tendo a reta, se queremos a abscissa de Q basta zerar y , já que Q = ( x , 0 ) . Assim, achamos esse x em função de a :

0 - a 2 - 1 = 2 a ( x - a )

x = a + - 1 - a 2 2 a

= a - 1 2 a - a 2

= a 2 - 1 2 a

Passo 3

( b ) A pergunta feita é, resumindo, qual o x ' num dado instante em que a = 2 e a ' = 3 ? Vamos começar derivando o x em função de a :

x ' a = a ' 2 + a ' 2 a 2

Ora, num instante t 0 em que a t 0 = 2 e a ' ( t 0 ) = 3 :

x ' a t 0 = a ' ( t 0 ) 2 + a ' t 0 2 a 2

x ' a t 0 = 3 2 + 3 2 2 2

= 15 8   u n i d a d e s / s e g .

Passo 4

( c ) Talvez você não lembre de primeira, mas o coeficiente angular de uma reta vale tg ⁡ ( α ) , onde esse α seria o ângulo da reta com o eixo x .

Ou seja, a tg ⁡ ( α ) tem o mesmo valor que a derivada da f no ponto em que estamos estudando:

tg ⁡ ( α ) = f ' ( a )

Vamos derivar dos dois lados e analisar como fica:

sec 2 ⁡ α α ' = f ' ' a a '

No instante t 0 temos a t 0 = 2 e a ' ( t 0 ) = 3 . Queremos então o valor de α ' a partir do seguinte sistema:

tg ⁡ ( α ) = f ' ( a ) sec 2 ⁡ α α ' = f ' ' a a '

Com f ' x = 2 x e f ' ' x = 2 :

Passo 5

tg ⁡ α t 0 = 2 a sec 2 ⁡ α t 0 α ' t 0 = 2 a ' t 0

tg ⁡ α t 0 = 4 sec 2 ⁡ α t 0 α ' t 0 = 6

Temos uma relação trigonométrica entre tangente e secante, lembra?

tg 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x

4 2 + 1 = sec 2 ⁡ x

sec 2 ⁡ x = 17

Agora podemos substituir a sec 2 ⁡ x na segunda equação e matar o valor de α ' t 0 :

17 α ' t 0 = 6

α ' t 0 = 6 17

Resposta

a   x = a 2 - 1 2 a

b   15 8   u n i d a d e s / s e g

c   6 17   r a d / s e g

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