Exercícios Resolvidos de Tensão Normal Média

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 27-1.44.

A luminária de 250   N é sustentada por três hastes de aço interligadas por um anel em A . Determine o ângulo de orientação θ de A C de modo que a tensão normal média na haste A C seja duas vezes a tensão normal média na haste A D .

Qual é a intensidade da tensão em cada haste? O diâmetro de cada haste é dado na figura.

Passo 1

O ponto A está sobre ação de três forças de tração que correspondem às forças internas N nas três hastes:

O valor de uma dessas forças foi dado pelo exercício: a haste A B deve exercer uma força de tração suficiente para sustentar a luminária de 250   N no ponto B .Isso significa que:

N A B = T A B = 250   N

O exercício quer saber qual o ângulo θ para que σ A C = 2 * σ A D . O exercício também quer saber os valores de σ A B = N A B / A A B , σ A C = N A C / A A C e = N A D / A A D nesse caso.

As áreas A A B , A A C e A A D podem ser calculadas a partir dos diâmetros d A B = 9   m m , d A C = 6   m m e d A D = 7,5   m m .

Mais e aí? Como vamos encontrar θ ?

  1. Vamos ter que fazer o equilíbrio de forças no ponto A . Isso vai gerar um sistema de equações.
  2. Desse sistema de equações vamos encontrar N A C , N A D em função de θ ;
  3. Com isso e com as áreas A A C e A A D já calculadas, vamos encontrar σ A C e σ A D também em função de θ ;
  4. Finalmente, vamos usar a relação σ A C = 2 * σ A D para encontrar o valor de θ !
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Passo 2

Começando pelo cálculo das áreas A das seções transversais usando a fórmula da área circular π d 2 / 4 :

A A B = π d A B 2 / 4

A A C = π d A C 2 / 4

&

A A D = π d A D 2 / 4

Substituindo o valor dos diâmetros:

A A B = π 9   m m 2 / 4   A A B = 63,6   m m 2  

A A C = π 6   m m 2 / 4   A A C = 28,3   m m 2

&

A A D = π 7,5   m m 2 / 4   A A D = 44,2   m m 2

Passo 3

Agora é hora do equilíbrio de forças no ponto A :

Com ajuda da imagem acima, conseguimos fazer o equilíbrio de forças na vertical e na horizontal.

Só precisamos tomar o cuidado de decompor devidamente as forças N A D e N A C em suas componentes em x e em y !

Para a vertical, o equilíbrio de forças fica assim:

F V = 0

N A D y + N A C y - N A B = 0

N A D y + N A C y = N A B

Calculando as componentes e substituindo N A B = 250   N :

N A D * s e n   45 ° + N A C * s e n   θ = 250   N

Vamos guardar essa equação para o nosso futuro sistema de equações!

E agora, o equilíbrio de forças para a horizontal:

F H = 0

N A C x - N A D x = 0

N A C x = N A D x

Calculando as componentes:

N A C * cos θ = N A D * cos 45 °

Com isso, nosso sistema de equações fica pronto:

N A D * s e n   45 ° + N A C * s e n   θ = 250   N N A C * cos θ = N A D * cos 45 °

Passo 4

Para resolver o sistema, vamos isolar N A D na segunda equação:

N A D = N A C cos θ cos 45 °

Substituir esse valor na primeira equação:

N A C cos θ cos 45 ° * s e n   45 ° + N A C * s e n   θ = 250   N

Pegar essa nova expressão e isolar N A C :

N A C cos θ * s e n   45 ° cos 45 ° + s e n   θ = 250   N

Como s e n   45 ° / c o s   45 ° = t g   45 ° :

N A C cos θ * t g   45 ° + s e n   θ = 250   N

N A C = 250   N cos θ * t g   45 ° + s e n   θ

E com N A C encontrado em função de θ , podemos substituir esse valor na segunda equação do nossos sistema para encontrar N A D em função de θ :

250   N cos θ * t g   45 ° + s e n   θ * cos θ = N A D * cos 45 °

250   N cos θ * t g   45 ° + s e n   θ cos θ = N A D * cos 45 °

Como s e n   θ / c o s   θ = t g   θ :

250   N t g   45 ° + t g   θ = N A D * cos 45 °

Continuando a isolar N A D :

N A D = 250   N t g   45 ° + t g   θ * 1 cos 45 °

N A D = 250   N s e n   45 ° + t g   θ * cos 45 °

Pronto! Agora temos N A C e N A D em função de θ .

Passo 5

Sistema resolvido! Hora de encontrar as tensões normais médias σ = N / A nas hastes A C e A D :

σ A C = N A C A A C

&

σ A D = N A D A A D

Substituindo os valores encontrados nos passos anteriores:

σ A C = 250   N cos θ * t g   45 ° + s e n   θ 28,3   m m 2  

&

σ A D = 250   N s e n   45 ° + t g   θ * cos 45 ° 44,2   m m 2

Simplificando através da divisão dos 250   N pelas áreas em m m 2 :

σ A C = 8,83   N / m m 2 cos θ * t g   45 ° + s e n   θ

&

σ A D = 5,66   N / m m 2 s e n   45 ° + t g   θ * cos 45 °

Mas lembra aí: N / m m 2 = M P a , então:

σ A C = 8,83   M P a cos θ * t g   45 ° + s e n   θ

&

σ A D = 5,66   M P a s e n   45 ° + t g   θ * cos 45 °

Passo 6

Tensões encontradas, hora de usar a relação do enunciado do exercício:

σ A C = 2 * σ A D

8,83   M P a cos θ * t g   45 ° + s e n   θ = 2 * 5,66   M P a s e n   45 ° + t g   θ * cos 45 °

Vamos deixar os números de um lado da equação e as “trigonometrias” do outro:

s e n   45 ° + t g   θ * cos 45 ° cos θ * t g   45 ° + s e n   θ = 2 * 5,66   M P a 8,83   M P a

Isso está um pouco assustador, então vamos começar pelo fácil: fazer a divisão do lado direito e substituir os valores de seno, cosseno e tangente de 45 ° .

( 2 / 2 ) + t g   θ * ( 2 / 2 ) cos θ * 1 + s e n   θ = 2 * 0,641

Colocando em evidência o ( 2 / 2 ) do lado esquerdo e realizando a multiplicação do lado direito:

2 2 1 + t g   θ cos θ + s e n   θ = 1,282

Mais uma vez, vamos deixar todos os números do mesmo lado da equação:

1 + t g   θ cos θ + s e n   θ = 1,282 * 2 2

1 + t g   θ cos θ + s e n   θ = 1,813

E agora? Parece que não temos mais nenhuma operação simples para fazer.

Pensa bem, na verdade tem mais uma: substituir t g   θ por s e n   θ / c o s   θ .

1 + s e n   θ cos θ cos θ + s e n   θ = 1,813

Passando o 1 para dentro do s e n   θ / c o s   θ :

cos θ + s e n   θ cos θ cos θ + s e n   θ = 1,813

Cortando ( cos θ + s e n   θ ) em cima e em baixo:

1 cos θ = 1,813

No final, deu tudo certo!

Isolando cos θ :

1 1,813 = cos θ

cos θ = 0,552

Finalmente, usando a função a r c c o s ou c o s - 1 da sua calculadora, encontramos que:

θ = 56,5 °

Passo 7

Com o ângulo θ encontrado, agora só falta calcular as tensões em cada haste.

Usando a fórmula da tensão normal média para a tensão na haste A B , σ A B :

σ A B = N A B A A B

Substituindo os valores N A B = 250   N e A A B = 63,6   m m 2 :

σ A B = 250   N 63,6   m m 2

σ A B = 3,93   M P a

Para às tensões σ A C e σ A D , vamos voltar às expressões encontradas no final do passo 5:

σ A C = 8,83   M P a cos θ * t g   45 ° + s e n   θ

&

σ A D = 5,66   M P a s e n   45 ° + t g   θ * cos 45 °

Como t g   45 ° = 1 e s e n   45 ° = cos 45 ° = 2 / 2 :

σ A C = 8,83   M P a cos θ + s e n   θ

&

σ A D = 5,66   M P a 2 2 1 + t g   θ

Substituindo θ = 56 , 5 ° e fazendo os cálculos necessários em uma calculadora, encontramos:

σ A C = 6,37   M P a

&

σ A D = 3,19   M P a

Resposta

θ = 56,5 °

σ A B = 3,93   M P a

σ A C = 6,37   M P a

σ A D = 3,19   M P a

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