Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 12, questão 5.

Mostre que a equação

x 3 + y 3 + z 3 = x + y + z

Define implicitamente uma função z = f ( x , y ) de classe C ¹ cujo gráfico está na vizinhança do ponto ( 1,1 , 1 ) .

Expresse z x e z y .

Passo 1

Vamos lá a primeira coisa a fazer é identificar quem é o vetor X e quem é o vetor Y .

Como ele quer tudo em função de x e y

X = x , y

O resto vai ser do vetor Y

Y = z

Assim também temos X 0 e Y 0

X 0 = x 0 , y 0 = ( 1,1 )

Y 0 = z 0 = 1

Vamos identificar também nosso F ( X , Y ) , jogando tudo pra um lado só na equação do problema:

F X , Y = F x , y , z = x 3 + y 3 + z 3 - x - y - z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora descobrir se esse ponto que ele deu serve a equação né?

1 3 + 1 3 + 1 3 - 1 - 1 - 1 = 0

Beleza, ele serve porque F X 0 , Y 0 = 0 !

Passo 3

Para vermos se a equação define implicitamente precisamos achar primeiro F Y , ele vai ser o Jacobiano com as derivadas em relação a z porque é F Y = F z

F Y = f 1 z = [ 3 z ² - 1 ]

Passo 4

Agora temos que ver se D e t F Y 0 no ponto 1,1 , 1

det F Y = 3 . 1 ² - 1 = 2 0

Show! Como ele é diferente de 0 podemos definir z em função de   x e y .

Passo 5

Agora para encontrar a derivada de Y = z = g X = g ( x , y ) temos que a fórmula da derivada é

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

Então, primeiro temos que fazer F X

F X = f 1 x f 1 y = 3 x 2 - 1 3 y 2 - 1

Agora, substituímos no ponto:

F X = 3 . 1 2 - 1 3 . 1 2 - 1 = 2 2

Passo 6

Agora, vamos calcular a inversa de F Y

F Y = 3 z 2 - 1

F Y - 1 = 1 3 z 2 - 1

Substituindo no ponto:

F Y - 1 = 1 3 . 1 2 - 1 = 1 2

Passo 7

Agora é só substituir tudo na formula da derivada

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

g ' X 0 = z x z y = z x ( 1 ) z y ( 1 ) = - 2 - 1 . 2 2

g ' X 0 = z x z y = - 1 2 . 2 2 = - 1 - 1

Resposta

z x = - 1

z y = - 1

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