Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes

UFRJ, ProbEst, P1/2013.2, 1

A chance do barco “Da Noi" vencer uma regata se o vento estiver forte (acima de 20 nós) é de 80% e de 40% se o vento estiver fraco. No dia da regata, a meteorologia prevê vento forte com 70% de chance. Qual a probabilidade de:

  1. “Da Noi" vencer a regata?
  2. O vento ter sido forte sabendo que “Da Noi" venceu a regata?
  3. O vento ter sido fraco sabendo que “Da Noi" não venceu a regata?

Passo 1

Então, aquele mesmo esquema de sempre. Vamos definir os nossos eventos primeiro.

V : b a r c o   v e n c e r   a   r e g a t a

F : v e n t o   e s t a r   f o r t e

E anotar os dados que o problema deu.

P V     F ) = 0,8

P V     F c ) = 0,4

P F = 0,7

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a)

Aqui temos um caso de probabilidade Total. Temos que calcular a prob. do barco vencer a regata, ventando forte ou não.

Pela fórmula da prob. Total.

P V = P V F ) × P F + P ( V | F c ) × P ( F c )

Sabendo que:

P F c = 1 - P F = 0,3

P V = 0,8 × 0,7 + 0,4 × 0,3

P V = 0,68

Passo 3

(b)

Agora a gente vai ter um caso de teorema de Bayes. Porque a gente quer saber se ventou forte, já sabendo que no final o barco venceu a regata. Lembra ?

A gente tá querendo dizer a prob. de uma coisa ter acontecido (ventar forte), já sabendo o que aconteceu no final (vencer a regata).

Pela fórmula do teorema de Bayes.

P F V = P ( V | F ) × P ( F ) P V

Certo ?

Passo 4

A gente já tem todos os valores da fórmula, é só substituir.

P F V = 0,8 × 0,7 0,68

P F V = 0,8236

Passo 5

(c)

Mais uma vez, uma aplicação do teorema de Bayes.

Queremos a prob. de ter tido vento fraco, já sabendo que o barco não venceu a regata.

P F c V c =   ?

Pela fórmula de Bayes.

P F c V c = P V c F c × P F c P V c

Beleza ?

Passo 6

Tá, a gente já sabe algumas coisas, por exemplo.

P V c = 1 - P V

P V c = 1 - 0,68

P V c = 0,32

E:

P V c F c = 1 - P V F c

P V c F c = 1 - 0,4 = 0,6

Passo 7

Pra terminar, só substituir na fórmula.

P F c V c = 0,6 × 0,3 0,32

                              = 0,5625

Resposta

a   0,68

b   0,8236

c   0,5625

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