Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

15) Calcule as integrais de linha diretamente e também e também pelo Teorema de Green:

a)

∫ C   3 x - y d x + x + 5 y d y

onde C é a circunferência unitária x = cos ⁡ t , y = sin ⁡ t , com 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 1

Antes de tudo, sempre é bom lembrar que uma integral de linha escrita assim

∫ C   3 x - y d x + x + 5 y d y

é a mesma coisa que uma escrita assim ∫ C   F → x ,   y d r → ...

∫ C   F → x ,   y d r → = ∫ C   3 x - y d x + x + 5 y d y

Onde no caso,

F → x ,   y = 3 x - y ,   x + 5 y

Vamos então primeiro resolver essa integral de linha pelo método direto pedido:

1º - Parametrizando a curva C .

2º - Encontrando o termo d r → .

3º - Trabalhando com a função F → x ,   y vetorial que está sendo integrada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro então teríamos que parametrizar a curva C , mas, para a nossa alegria, já está feito:

x = cos ⁡ t

y = sin ⁡ t

Ou seja:

σ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t

onde t ...

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 3

Para encontrar o termo d r → ...

d r → = σ ' t d t

precisamos da derivada da parametrização, logo:

σ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t               →                   σ ' t = - sin ⁡ t , cos ⁡ t

d r → = - sin ⁡ t , cos ⁡ t d t

Passo 4

Faltando por último então, trocar os termos da função F → x ,   y pelos termos da parametrização:

x = cos ⁡ t

y = sin ⁡ t

F → x ,   y = 3 x - y ,   x + 5 y   →

F → x ,   y = 3 cos ⁡ t - sin ⁡ t ,   cos ⁡ t + 5 sin ⁡ t

Passo 5

Voltando então para a integral de linha que queremos...

∫ C   F → x ,   y d r →

e substituindo tudo que determinamos:

∫ C   F → x ,   y d r → = ∫ 0 2 π 3 cos ⁡ t - sin ⁡ t ,   cos ⁡ t + 5 sin ⁡ t ∙ - sin ⁡ t , cos ⁡ t d t =

Resolvendo o produto escalar...

∫ 0 2 π - 3 cos ⁡ t sin ⁡ t + sin 2 ⁡ t +   cos 2 ⁡ t + 5 sin ⁡ t cos ⁡ t d t =

∫ 0 2 π 1 + 2 sin ⁡ t cos ⁡ t d t =

∫ 0 2 π d t + ∫ 0 2 π 2 sin ⁡ t cos ⁡ t d t =

Calculando a primeira integral...

2 π + 2 ∫ 0 2 π sin ⁡ t cos ⁡ t d t

Calculando a segunda fazendo uma substituição do tipo:

sin ⁡ t = u   →

d u = cos ⁡ t d t

e trocando também os limites de integração...

t = 0     →           u = sin ⁡ 0 = 0

t = 2 π     →           u = sin ⁡ 2 π = 0

Os limites deram os mesmos e a função que está sendo integrada, sin ⁡ t cos ⁡ t , é continua, então...

∫ 0 2 π sin ⁡ t cos ⁡ t d t = 0

e o resultado é

∫ C   F → x ,   y d r → = 2 π + 2 ∫ 0 2 π sin ⁡ t cos ⁡ t d t

∫ C   F → x ,   y d r → = 2 π

Passo 6

Como o próprio problema pediu, agora vamos resolver a mesma integral utilizando o teorema de Green...

∮ C   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Mas antes de aplicarmos essa igualdade maravilhosa do Teorema, temos que avalizar as condições de Green, que sempre nos exige:

1º - Uma curva C fechada delimitando a região D .

2º - A curva C , orientada positivamente.

3º - Um campo F → sem singularidades onde estamos trabalhando.

Vamos averiguar?

Passo 7

Precisamos de uma curva C fechada e delimitando uma região D . Ora, a curva C , pelo próprio enunciado, é uma circunferência de raio 1 e centrada na origem:

Observe que a região D , é justamente o interior dessa circunferência, ou seja, é o círculo.

Passo 8

Como a parametrização dada foi a usual

x = cos ⁡ t

y = sin ⁡ t

e t ...

0 ≤ t ≤ 2 π

A circunferência só pode estra girando no sentido anti-horário logo com a orientação positiva!

Passo 9

O campo F → que estamos trabalhando...

F → x ,   y = 3 x - y ,   x + 5 y

Não tem um problema em nenhum lugar, o que nos garante que ele já está sem singularidades !

Passo 10

Condições do Teorema sendo satisfeita, podemos aplicar a igualdade numa boa:

∫ C   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Se queremos a integral de linha, calculemos a integral dupla beijinho no ombro ;)

Calculando, primeiro, essas derivadas parciais aí do campo...

F → x ,   y = 3 x - y ,   x + 5 y = F 1 ,   F 2

∂ F 2 ∂ x = ∂ x + 5 y ∂ x = 1

∂ F 1 ∂ y = ∂ 3 x - y ∂ y = - 1

Logo...

∫ C   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A =

∬ D   2 d A

Passo 11

Então a integral dupla que temos que resolver é...

∬ D   2 d A =

2 ∬ D   d A

Epa! O que é uma integral dupla de 1 d A ? sim! É a área da região D

2 ∬ D   d A = 2 Á r e a D =

2 π r 2

Como o raio é 1 ...

∫ C   F → d r → = 2 ∬ D   d A = 2 π

Resposta

a )     2 π

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