Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

16) Calcule as seguintes integrais:

b)

∮ C   - x y 1 + x d x + ln ⁡ 1 + x d y

onde C é formada por y = 0 , x + 2 y = 4 e x = 0 .

Passo 1

Bem, perceba que nesse problema o enunciado não nos disse como essa integral de linha deve ser feita, porém... Repare que o campo que estamos trabalhando

F → x ,   y = - x y 1 + x ,   ln ⁡ 1 + x

é muito complicado. Isso é uma sugestão que devemos utilizar o teorema de Green para matar o problema. Mas, para você ter certeza se é Green ou não, calculemos

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

As derivadas parciais são...

∂ F 2 ∂ x = ∂ ln ⁡ 1 + x ∂ x = 1 1 + x

∂ F 1 ∂ y = ∂ - x y 1 + x ∂ y = - x 1 + x

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∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1 1 + x - - x 1 + x =

1 + x 1 + x = 1

De fato é muito simples essa subtração nos indicando que de fato estamos lidando com Green

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O teorema de Green nada mais é do que essa igualdade mara entre a integral de linha com uma integral dupla:

∮ C   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Mas antes de aplicarmos essa igualdade maravilhosa do Teorema, temos que avalizar as condições de Green, que sempre nos exige:

1º - Uma curva C fechada delimitando a região D .

2º - A curva C , orientada positivamente.

3º - Um campo F → sem singularidades onde estamos trabalhando.

Vamos averiguar?

Passo 3

1º - Precisamos de uma curva C fechada e delimitando uma região D . Ora, a curva C , pelo próprio enunciado, é a curva composta por essas três retas: y = 0 , x + 2 y = 4 e x = 0 ...

Onde a região D é justamente esse triângulo:

2º - E mais, ela está orientada positivamente sim!!!

Quando o problema não nos fala nada sobre a orientação, assumimos que é no sentido anti-horário, portanto positivamente

- O campo F → que estamos trabalhando...

F → x ,   y = - x y 1 + x ,   ln ⁡ 1 + x

até tem uma singularidade em x = - 1 ... Como estamos bem longe dele, não tem problema algum.

Passo 4

Condições do Teorema sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa boa:

∫ C   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Se queremos a integral de linha, calculemos a integral dupla e beijinho no ombro ;)

Substituindo...

∫ C   F → d r → = ∬ D     d A =

∬ D     d A

Para calcular essa integral dupla, devemos descrever a região D

O que pode ser feito utilizando o auxílio de uma região do Tipo 1 ...

O x varia de 0 até o encontro da reta amarela com a vermelha. Esse encontro é dado por:

y = 0 x + 2 y = 4   →           x = 4

0 ≤ x ≤ 4

enquanto que y ...

R e t a   a m a r e l a ≤ y ≤ R e t a   v e r m e l h a

A reta amarela é y = 0 enquanto que a vermelha... x + 2 y = 4 :

0 ≤ y ≤ 2 - x 2

Integrando...

∫ 0 4 ∫ 0 2 - x 2 d y d x =

∫ 0 4 ∫ 0 2 - x 2 d y d x =

∫ 0 4 2 - x 2 d x =

2 x - x 2 4 0 4 = 2 ⋅ 4 - 4 2 4 =

8 - 4 =

4

Resposta

a )     4

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