Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

20) Seja φ   : R 2 → R de classe C 2 , tal que ∇ 2 φ = - 3 x . Considere o campo F → = ∂ φ ∂ y ,   - ∂ φ ∂ x . Calcule ∮ C   F → ⋅ d r → ,   onde C é a curva formada por y = x 3 e y = x .

Passo 1

Bem, eu sei que está muuuito confuso o enunciado e que apareceram vários caras “novos” como ∇ 2 φ e entre outros. Porém o que o problema quer na realidade é uma integral de linha:

∮ C   F → ⋅ d r →

Onde a curva C é uma curva fechada entre esse pedacinho da função cúbica e essa reta:

Pow! Então eu te recomendo que você não se preocupe agora com aquelas outras informações dadas agora e que comece a resolvendo a integral de linha normalmente como estamos acostumados até agora:

  • Como estamos em uma região fechada, aplicando o nosso amigo “O Teorema de Green” ! Venha comigo! :D
  • Passo 2

    O teorema de Green nada mais é do que essa igualdade mara entre a integral de linha com uma integral dupla:

    ∮ C   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

    Mas antes de aplicarmos essa igualdade maravilhosa do Teorema, temos que avalizar as condições de Green, que sempre nos exige:

    1º - Uma curva fechada C que delimita D .

    2º - Orientadas positivamente.

    3º - Um campo F → sem singularidades onde estamos trabalhando.

    Vamos averiguar?

    Passo 3

    Sobre uma curva fechada C está ok, pois a como já vimos ela é fechada, inclusive foi a nossa inspiração inicial para aplicar o Teorema, certo?

    E em relação a ser orientada positivamente também está ok, pois quando um problema não nos diz nada sobre a orientação, adotamos a curva girando no sentido anti-horário... Orientada positivamente, portanto. :D

    Campo F → sem singularidades também está sendo satisfeito, pois o que acontece, o campo F → é formado das primeiras derivadas de φ a qual sabemos ser de classe C 2 , então F → também é de classe C 2 . Sendo assim, ele não tem nenhum problema, pois se tivesse, ele não seria, saca?

    Passo 4

    Condições do Teorema sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa boa:

    ∮ C   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

    Se queremos essa integral de linha, calculemos a integral dupla e é só correr para o abraço. Porém antes, temos que determinar essas derivadas parciais aí:

    Como...

    F → = ∂ φ ∂ y ,   - ∂ φ ∂ x     →       F → = ∂ φ ∂ y ⏟ F 1 ,   - ∂ φ ∂ x ⏟ F 2

    Calculando a primeira derivada parcial...

    ∂ F 2 ∂ x = ∂ - ∂ φ ∂ x ∂ x = - ∂ 2 φ ∂ x 2

    ∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ φ ∂ y ∂ y = ∂ 2 φ ∂ y 2

    Então...

    ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = - ∂ 2 φ ∂ x 2 - ∂ 2 φ ∂ y 2 =

    - ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2

    E a integral dupla fica sendo:

    ∮ C   F → d r → = ∬ D   - ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 d A

    Passo 5

    Agora, utilizemos a última informação:

  • Que φ é uma função que leva R 2 a R (então é uma função escalar de duas variáveis φ x ,   y ) e que ∇ 2 φ = - 3 x .

Cara, ∇ 2 φ se você não se lembra dele, é um operador de derivadas parciais ao qual damos o nome de Operador Laplaciano.

Não estamos interessados no significado físico dessa coisa, mas sim no matemático. E pow, esse operador matematicamente é definido como...

∇ 2 φ = d i v ∇ φ   =

∇ ⋅ ∇ φ

é o operador de derivadas parciais e é esse vetor aqui:

∇ = ∂ ∂ x ,   ∂ ∂ y

Então ∇ φ é o gradiente dado pelo produto da função escalar pelo operador:

∇ φ = φ ∂ ∂ x ,   ∂ ∂ y = ∂ φ ∂ x ,   ∂ φ ∂ y

E aplicando o divergente (o produto escalar de vetores), fica...

∇ 2 φ = ∂ ∂ x ,   ∂ ∂ y ∙ ∂ φ ∂ x ,   ∂ φ ∂ y =

∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2

Como ∇ 2 φ = - 3 x ...

∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 = - 3 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Voltando para a integral dupla...

∮ C   F → d r → = ∬ D   - ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 d A =

∬ D   3 x   d A

Para resolver essa integral, devemos descrever a região D ...

que pode ser feito utilizando o Tipo 1 de classificação:

0 ≤ x ≤ 1

f u n ç ã o   c ú b i c a ≤ y ≤ r e t a     ⇒     x 3 ≤ y ≤ x

Substituindo na integral...

∬ D   3 x   d A = ∫ 0 1 ∫ x 3 x 3 x   d y d x =

∫ 0 1 3 x ∫ x 3 x   d y d x = ∫ 0 1 3 x x - x 3 d x =

∫ 0 1 3 x 2 - 3 x 4 d x = x 3 - 3 x 5 5 0 1 =

1 - 3 5 = 2 5

Logo, a integral de linha que procurávamos, pelo Teorema de Green é...

∮ C   F → d r → = 2 5

Resposta

2 5

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