Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

Teorema de Green

Calcule ∫ C   F . d r , em que

F x , y = x 2 + y i + 3 x - y 2 j

E C é a fronteira orientada positivamente de uma região D que tem área 6 .

Passo 1

Bom, como o problema nem nos dá a expressão da curva C em que queremos fazer a integral de linha, já sabemos que só podemos calcular isso aí por Green, certo? É o que vamos fazer então:

Temos então

∫ C   F ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora precisamos calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Temos:

F x , y = x 2 + y ,   3 x - y 2

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x 3 x - y 2 = 3

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y x 2 + y = 1

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 3 - 1 = 2

Como encontramos uma expressão relativamente simples, isso quer dizer que estamos no caminho certo!

Passo 3

Agora podemos montar a integral. Aplicando o teorema de Green, a integral do enunciado pode ser escrita como:

∫ C   F . d r = ∬ D   2 d x d y

= 2 ∬ D   d x d y

Passo 4

Bom, como sabemos que a integral dupla de d x d y em uma região D nos dá a área dessa região, podemos escrever:

∫ C   F . d r = 2 Á r e a ( D )

Já que o enunciado nos diz que essa área é igual a 6 , temos:

∫ C   F . d r = 12

Resposta

12

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas