Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

Teorema de Green

Calcule as seguintes integrais de linha:

∮ C   s e n x y + x y cos ⁡ ( x y ) d x + x 2 cos ⁡ ( x y ) d y

Onde C é o círculo unitário com centro na origem, percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Bom, como o campo tem uma expressão meio chata, vamos tentat aplicar Green, ok? Temos:

∂ F 2 ∂ x = 2 x cos ⁡ ( x y ) - x 2 y sen ⁡ ( x y )

∂ F 1 ∂ y = x cos ⁡ ( x y ) + x cos ⁡ ( x y ) - x 2 y   s e n ( x y )

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, como a curva está orientada positivamente e o campo está definido dentro de C , podemos escrever o seguinte:

∮ C   F . d r = ∬ R   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y = 0

Ou seja: ∮ C   F . d r = 0

Resposta

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