Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

Teorema de Green

Considere C a curva plana orientada definida pela parametrização

α t = 2 cos ⁡ π - t ,   s e n   π - t ,   t   ∈ π 2 ,   π

Seguida do segmento de ( 2,0 ) a ( 0,0 ) e do segmento de ( 0,0 ) a ( 0,1 ) . Calcule a integral de linha

∫ C   4 y + s e n   y + 1 + x 2 d x + ( x cos ⁡ y + e y 2 ) d y

Passo 1

Bom, olhando para a expressão desse campo, parece um pouco complicado calcular essa integral de linha pela definição, deve dar trabalho. Vamos tentar usar Green então;

Precisamos, antes de tudo, calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Temos:

F x , y = 4 y + s e n   y + 1 + x 2 ,   x cos ⁡ y + e y 2

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x x cos ⁡ y + e y 2 = cos ⁡ y

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y 4 y + s e n   y + 1 + x 2 = 4 + cos ⁡ y

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = - 4

Como encontramos uma expressão simples, isso quer dizer que estamos no caminho certo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O enunciado já nos deu uma curva fechada, então, só precisamos verificar sua orientação para aplicar Green.

Sabemos que α t = 2 cos ⁡ π - t ,   s e n   π - t é uma elipse parametrizada, como o enunciado fala que t vai de π / 2 até π , temos um setor de elipse. Calma que não é tão simples, pois temos cos ⁡ ( π - t ) não c cos ⁡ t . Em t = π / 2 , temos o ponto 0,1 e em t = π , o ponto 2,0 . Juntando esse arco com os segmentos de ( 2,0 ) até ( 0,0 ) e de ( 0,0 ) até ( 0,1 ) , temos:

Porém, para aplicar Green, a curva deve estar no sentido anti-horário. Assim, podemos escrever o seguinte:

∫ C -   F ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Onde C - é a curva C com orientação oposta:

Como queremos a integral de linha em C :

∫ C   F ⋅ d r = - ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Passo 3

Agora podemos montar a integral. Aplicando o teorema de Green, a integral do enunciado pode ser escrita como:

∫ C   F . d r = - ∬ D   - 4 d x d y

∫ C   F . d r = 4 ∬ D   d x d y

Onde D é a região que vimos no passo anterior.

Passo 4

Agora vamos resolver essa integral. Mas nem precisa, né? Olha só:

4 ∬ D   d x d y = 4 Á r e a   D

Como nós sabemos que a área de uma elipse é dada por:

A e l i p s e = a b π

E, pela parametrização

α t = 2 cos ⁡ π - t ,   s e n   π - t ,

Temos que a = 2 e b = 1 , temos:

A e l i p s e = 2 π

Como D é 1 / 4 da elipse:

4 ∬ D   d x d y = 4 2 π 4 = 2 π

Resposta

2 π

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas