Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

Teorema de Green

Mostre que

∫ C f x y x d y - y d x x 2 = 0

Para qualquer curva C , fechada, simples, lisa (ou regular) por partes, cujo traço não intersecta os eixos x e dos y e orientada no sentido positivo, e para qualquer função f : R → R de classe C 1 .

Sugestão: Aplique o Teorema de Green. Justifique

Passo 1

Vamos reescrever essa função dentro da integral de forma mais bonitinha

∫ C f x y x d y - y d x x 2 = ∫ C F x , y ∙ d C

Então a função F x , y vai ser

F x , y = f x y x j - y i x 2 = - y x 2 f x y , x x 2 f x y = - y x 2 f x y , 1 x f x y

Vamos aplicar o teorema de Green como ele sugeriu. Repara que essa função F não está definida quando x = 0 ou y = 0 , enquanto quando aplicarmos teorema de Green devemos usar uma região que não corte nenhum dos eixos se não essa função F não vai poder ser usada, no enunciado ele disse que o traço não corta nenhum dos dois eixos, isso nos diz que para uma curva C como ele deu podemos usar o teorema de Green. Então

∫ C F x , y ∙ d C = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Onde a fronteira de D é a curva C .

Temos que achar aquele termo dentro da integral dupla. Vamos começar achando as derivadas

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x 1 x f x y + 1 x ∂ ∂ x f x y   = - 1 x 2 f x y + 1 x f ' x y ∙ ∂ ∂ x x y

∂ F 2 ∂ x = - 1 x 2 f x y + 1 x f ' x y ∙ 1 y = - 1 x 2 f x y + 1 x y f ' x y

A outra derivada fica

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y - y x 2 f x y + - y x 2 ∂ ∂ y f x y = - 1 x 2 f x y + - y x 2 f ' x y ∙ ∂ ∂ y x y

∂ F 1 ∂ y = - 1 x 2 f x y + - y x 2 f ' x y ∙ - x y 2 = - 1 x 2 f x y + y x x 2 y 2 f ' x y

∂ F 1 ∂ y = - 1 x 2 f x y + - y x 2 f ' x y ∙ - x y 2 = - 1 x 2 f x y + 1 x y f ' x y

Vamos ter

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = - 1 x 2 f x y + 1 x y f ' x y - - 1 x 2 f x y + 1 x y f ' x y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

-

Vamos ter

∫ C f x y x d y - y d x x 2 = ∫ C F x , y ∙ d C = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A = ∬ D 0 d A = 0

Logo aquela integral de linha vai ser 0 para uma curva C fechada, simples, lisa (ou regular) por partes, cujo traço não intersecta os eixos x e dos y .

Resposta

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