Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

UFPE, Cálculo 3, PF - 2018.2, Questão 2b

Seja F → = y + e x , 2 x + e - y .

  1. Use o Teorema de Green para calcular

∮ C F   d r

onde C é a fronteira da região englobada pelas parábolas y = x 2   e   x = y 2 .

Passo 1

Bom, Green nos diz que:

Com isso ficamos com

∂ F 2 ∂ x = 2 ,     ∂ F 1 ∂ y = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora falta a gente identificar nossa região pra poder escrever!

y = x 2

y 2 = x → y = x

Pra identificarmos o porto de encontro das funções, basta a gente igualar as funções trabalhadas. Então vamo lá:

x 2 = x

x 1 = 0   o u   x 2 = 1

Logo

y = x 1 → y = 0 → P 1 ( 0,0 )

y = x 2 → y = 1 → P 2 1,1

Beleza, então agora podemos ver que nosso x varia de 0 a 1, e o y entre a função de baixo ( x 2 ) e a de cima x .

Passo 3

Show, então agora a gente consegue escrever nossa integral.

∮ C F   d r =   ∫ 0 1 ∫ x 2 x 1   d y   d x

∫ 0 1 x - x 2   d x

2 3 x 3 2 - x 3 3 0 1 = 1 3

Resposta

1 3

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