Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

Teorema de Green

Seja F → x , y = x y 2 - x 4 y i → + x 2 y - 2 x 3 3 + 2 x + x y 2 j → . Mostre que não existe curva fechada, simples, lisa por partes γ : a , b → R 2 tal que ∫ γ   F → d r → = 0 .

Passo 1

Bom, como não temos a expressão de uma curva e o enunciado fala sobre integral de linha sobre uma curva fechada, vamos tentar aplicar o Teorema de Green. Primeiramente, vamos calcular o rotacional do campo:

F = x y 2 - x 4 y ,   x 2 y - 2 x 3 3 + 2 x + x y 2

∂ F 2 ∂ x = 2 x y - 2 x 2 + 2 + y 2

∂ F 1 ∂ y = 2 x y - x 4

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 2 x y - 2 x 2 + 2 + y 2 - 2 x y + x 4 = - 2 x 2 + y 2 + x 4 + 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sendo assim, considerando C uma curva fechada orientada no sentido anti-horário, temos:

∫ c   F ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y = ∬ D   - 2 x 2 + y 2 + x 4 + 2 d x d y

Ok, o problema quer que a gente mostre que:

∬ D   - 2 x 2 + y 2 + x 4 + 2 d x d y ≠ 0

Vamos então analisar essa função que vamos integrar: - 2 x 2 + y 2 + x 4 + 2 . Beleza, vamos tentar mexer nisso aqui. Repare que podemos escrever>

x 4 - 2 x 2 + 1 ⏟ x 2 - 1 2 + 1 + y 2

x 2 - 1 2 + 1 + y 2

E o menor valor que essa função pode assumir é quando x = 1 (ou x = - 1 ) e y = 0 :

1 2 - 1 2 + 1 + 0 2 = 0 + 1 = 1

Se por acaso x for 0 , temos 0 2 - 1 2 + 1 + 0 2 = 1 + 1 = 2 > 1 .

Se x for negativo, o valor da função também não decresce, porque x está elevado ao quadrado e um número negativo ao quadrado é um número positivo.

Portanto, o menor valor é 1 e ocorre nos valores de x e y que falamos acima, fora isso a função só cresce.

Podemos dizer então que:

x 2 - 1 2 + 1 + y 2 ≥ 1

Tá e no que isso nos ajuda? Olha só, podemos escrever:

∬ D   1   d x d y ≥ 0

Porque? Simplesmente porque a integral dupla de d x d y sobre D é a área da região D , que não pode ser negativa, certo??

Temos então o seguinte:

∫ c   F ⋅ d r = ∬ D   x 2 - 1 2 + 1 + y 2 d x d y ≥ ∬ D   1   d x d y ≥ 0

Pronto, provamos o que o problema pediu!

Resposta

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