Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

UFPE, Cálculo 3, 1°EE - 2018.2, Questão 4

Seja F → x , y = x , x 3 + 3 x y 2 um campo de força sobre uma partícula. A partícula inicialmente no ponto (-2,0) se move ao longo do eixo x até (2,0) e então ao longo da semicircunferência y = 4 - x 2   até o ponto inicial.

  1. Utilize o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de força F → .
  2. A integral

∫ C F →   .   d r

é independendo do caminho? Justfique.

Passo 1

  1. Bom, vamos começar observando para podermos aplicar Green temos que conferir se nossa região está orientada posotivamente e fechada.
  2. Tudo ok com nossa região então.

    Passo 2

    Aplicando Green temos que

    A região D pode ser descita com x variando entre -2 e 2, e y variando entra 0 e 4 - x 2

    Como estamos trabalhando com uma semi circunferência, facilita nossa vida as coordenadas polares. Então bora lá.

    x = r cos ⁡ θ

    y = r   s e n   θ

    J = r

    Onde

    0 ≤ r ≤ 2   e   0 ≤ θ ≤ π

    Passo 3

    Agora precisamos encontrar as derivadas do campo!

    δ F 2 δ x - δ F 1 δ y = ( 3 x 2 + 3 y 2 - 0 )

    Colocando isso em coordenadas polares também, ficamos com:

    3 x 2 + 3 y 2 = 3 r 2 cos 2 ⁡ θ + 3 r 2 s e n θ

    = 3 r 2

    Passo 4

    Montando a integral agora, ficamos com (sem esquecer o Jacobiano):

    = ∫ 0 2 ∫ 0 π 3 r 2 r   . d θ   d r

    3 π ∫ 0 2 r 3   d r  

    3 4 π r 4 0 2

    = 12 π

    Passo 5

  3. Bom, pra fechar ele nos pergunta se a integral independe do caminho. A resposta pra essa pergunta seria NÃO. Se fosse independente, uma vez que ele sai e volta pra um mesmo ponto, seu trabalho seria NULO, e isso não é oque acontece, como já vimos na letra (a).
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Resposta

a   12 π

b   N ã o

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