Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral II, Banco de Questões - Estácio - AV3, Questão 2

Sejam P x , y ,   Q x , y , ∂ P ∂ y   e   ∂ Q ∂ x funções uniformes e contínuas em um domínio conexo limitado por uma curva fechada C . Então, pelo Teorema de Green:

∮ P d x + Q d y = ∬ R ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y

Calcule a integral de linha:

∮ x - 2 y d x + 2 x - 3 y d y

Sobre a circunferência unitária x = c o s ⁡ ( t ) , y = sen ⁡ ( t ) ; 0 ≤ t ≤ π utilizando o Teorema de Green.

Passo 1

O segredo aqui é não pensar demais: vamos dar uma olhada na integral que queremos resolver:

∮ x - 2 y d x + 2 x - 3 y d y

Ou seja:

P = ( x - 2 y )

Q = ( 2 x - 3 y )

A fórmula que o enunciado deu diz que, pelo Teorema de Green, podemos igualar aquele integral de linha à seguinte integral de superfície:

∬ R ∂ ( 2 x - 3 y ) ∂ x - ∂ ( x - 2 y ) ∂ y d x d y

Beleza, já aplicamos o teorema de Green, agora a questão é: como resolver essa integral de superfície?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O primeiro passo é resolver as derivadas parciais que estão dentro da integral:

∂ ( 2 x - 3 y ) ∂ x = 2

∂ ( x - 2 y ) ∂ y = - 2

Agora vamos substituir isso na integral:

∬ R 2 - ( - 2 ) d x d y = 4 ∬ R d x d y

Opa, já ficou tudo bem fácil, a gente sabe que isso aqui:

∬ R d x d y

É simplesmente a área da região R ! Ou seja, a resposta do nosso problema é simplesmetne 4 vezes a área da região R .

Passo 3

Bom, R é a região delimitada pela curva C , mas quem é a curva C ? O enunciado já disse: é uma circunferência unitária!

Qual é a área de uma circunferência unitária? (ou seja, uma circunferência de raio 1 )

A = π r 2 = π 1 2 = π

Mas cuidado! Na parametrização que o enunciado deu, o ângulo t só ia de 0 até π , ou seja, temos algo assim:

Então vamos pegar só metade da área do círculo unitário!

A ' = A 2 = π 2

E como a nossa resposta é quatro vezes a área da região:

4 ∬ R d x d y = 4 π 2 = 2 π

Pronto!

Resposta

A integral vale 2 π .

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