Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

USP, Cálculo 3, P2 - 2019, Questão 4

Sejam D = { ( x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 < 1 } e f : D → R uma função não nula de classe C 1 . Considere as seguintes afirmações:

  1. Se ∂ f ∂ x x , y = ∂ f ∂ y x , y , para todo x , y ∈ D ,   então ∫ c f x , y d s = 0 para toda circunferência C ⊂ D .
  2. Se f x , y ≤ 10 para todo x , y ∈ D , então para toda curcunferência C ⊂ D   vale que ∫ C f x , y d s ≤ 10 π
  3. Se   C 1 é a cirncunferência x 2 + y 2 = 1 4 percorrida uma única vez no sentido horário e C 2 é a mesma circunferência percorrida uma única vez no sentido anti-horario, então ∫ C 1 f x , d s = -   ∫ C 2 f x , y d s .

Para toda função f como acima:

Passo 1

  1. Se ∂ f ∂ x x , y = ∂ f ∂ y x , y , para todo x , y ∈ D ,   então ∫ c f x , y d s = 0 para toda circunferência C ⊂ D .
  2. Falso! Observa que essa afirmação só é verdadeira quando:

    No entanto, pra isso acontecer existem algumas condições;

  • Curva fechada: o que está ok, já que estamos trabalhando com uma circunferência
  • Campo sem singularidade: não temos nenhuma garantia disso
  • Orientação positiva: depende então também da orientação dessas circunferencias
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

  • Se f x , y ≤ 10 para todo x , y ∈ D , então para toda curcunferência C ⊂ D   vale que ∫ C f x , y d s ≤ 10 π
  • Fazendo f x , y = 10

    Parametrizando a curva:

    x = c o s θ

    y = s e n   θ

    0 ≤ θ ≤ 2 π

    Termo ds:

    x ' = - s e n θ

    y ' = c o s θ

    d s = - s e n θ 2 + c o s θ 2   d θ

    d s = d θ

    Montando a integral:

    ∫ 0 2 π 10   d θ

    10 θ | 2 π 0

    = 20 π

    Afirmativa errada.

    Passo 3

  • Se   C 1 é a cirncunferência x 2 + y 2 = 1 4 percorrida uma única vez no sentido horário e C 2 é a mesma circunferência percorrida uma única vez no sentido anti-horario, então ∫ C 1 f x , d s = -   ∫ C 2 f x , y d s .
  • Resposta

    t o d a s   f a l s a s

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