Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

Use o teorema de Green para calcular a integral de linha dada por

∮ C y + e x d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y

Onde C é a curva de orientação positiva dada pela fronteira da região delimitada pelas parábolas y = x 2 e x = y 2 .

Passo 1

O enunciado fala pra gente usar o teorema de Green aqui, lembra o que esse teorema fala?

∮ C F → . d r → = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Onde a região D tem como fronteira a curva fechada C orientada positivamente.

Pra aplicar isso na questão, vamos entender como é o nosso esboço! Temos duas parábolas aqui, assim:

Então é nessa região mesmo que vamos aplicar o teorema! Veja que transformamos uma integral de linha difícil em uma integral dupla mais simples, beleza?

Precisamos então calcular esse termo ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y e encontrar os limites da região de integração, vamos lá?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando pelo termo dentro da integral dupla

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Onde

F 1 = y + e x

F 2 = 2 x + cos ⁡ y 2

Derivando isso aí

∂ F 2 ∂ x = 2

∂ F 1 ∂ y = 1

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1

Passo 3

Vamos encontrar os limites agora. Analisando o esboço, tanto faz uma região do tipo I ou do tipo I I , é tudo simétrico aqui. Vamos fazer pelo tipo I então, precisamos

f 1 x ≤ y ≤ f 2 x

a ≤ x ≤ b

Olhando a região D , a curva y 2 = x precisa ser escrita de outra forma

y 2 = x

y = x

Vamos pegar a raiz positiva só mesmo porque é a que está no esboço. Olha só como fica

Portanto os limites de y são

x 2 ≤ y ≤ x

Os limites de x são as interseções das curvas, ou seja, nos pontos x = 0 e x = 1

0 ≤ x ≤ 1

Passo 4

Definido isso, agora é só botar tudo na integral

∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y = ∫ 0 1 ∫ x 2 x 1 d y d x

Passo 5

Vamos resolver a integral aqui

∫ 0 1 ∫ x 2 x 1 d y d x

= ∫ 0 1 x - x 2 d x

Integrando em x

= 2 3 x 3 2 - x 3 3 0 1

= 2 3 - 1 3 = 1 3

Resposta

1 3

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