Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

Elaboração própria

Resolva o limite:

lim x + sen x 2 + ln 5 x x + 2 x - 4

Passo 1

Meu amigo, o limite parece um monstro. Quando você vir um ln x dentro de um sen x cheio de polinômio em volta, certamente vai dar um arrepio na nuca e um calafrio no corpo, por que isso não é coisa de gente sã.

Mas calma, para fugir dessa você só precisa de um pouco de malandragem!

Vamos ver, usando umas propriedades dos limites, podemos chegar aqui:

lim x + sen x 2 + ln 5 x x + 2 x - 4 =   sen lim x x 2 + ln 5 lim x x lim x x + 2 lim x x - 4

A criatura tá ficando maior ainda! Espera, vamos analisar para onde iria cada pedaço da função e aí pensar no limite do todo, certo? NÃO! Não precisa analisar mais nada dentro do sen x se eu estiver levando o argumento do seno para o + . Esse é total indicador de que devo usar o Teorema do Confronto!

lim x + x 2 + ln 5 x x + 2     ;     lim x + sen x 2 + ln 5 x x + 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se todo sen x está sempre entre - 1 e 1 , posso dizer que:

- 1 sen x 1

- 1 sen x 2 + ln 5 x x + 2 1

Dividindo tudo por ( x - 4 ) :

- 1 x - 4 sen x 2 + ln 5 x x + 2 x - 4 1 x - 4

Analisando ao mesmo tempo os limites de - 1 / ( x - 4 ) e de 1 / ( x - 4 ) , teríamos isso aqui:

lim x + - 1 x - 4 = lim x + 1 x - 4 = 0

Sabendo que se os limites das bordas forem iguais esse limite é o mesmo da função central, eu mato o monstro de 7 cabeças:

lim x + sen x 2 + ln 5 x x + 2 x - 4 = 0

Resposta

lim x + sen x 2 + ln 5 x x + 2 x - 4 = 0

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