Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G1 - 2017.2, Questão 3

Seja f : - 1 ,   1 R a função dada por

f x = 0 π x 2 sec t   d t

Determine, caso exista(m):

  1. f ' e f ' ' (a primeira e a segunda derivadas de f ).
  2. O(s) intervalo(s) onde f é crescente.
  3. O(s) intervalo(s) onde o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo.

Passo 1

a )

Bem, para dar aquela lembrada, de acordo com o Teorema fundamental do cálculo, a derivada da integral é a própria função que estamos integrando...

f x =     g t d t

f ' x = g x

Mas isso acontece quando os limites são constantes. Quando os limites são funções, como você já deve saber...

f x = h 1 x h 2 x g t d t

f ' x = g h 2 x h 2 ' x - g h 1 x h 1 ' x

No caso...

f x = 0 π x 2 sec t   d t  

f ' x = sec π x 2 π x 2 ' - sec 0 0 '

f ' x = π 2 sec π x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para a segunda derivada, basta derivar a primeira tomando cuidado com a regra da cadeia...

f ' x ' = π 2 sec π x 2 '       f ' ' x = π 2 sec π x 2 '

    f ' ' x = π 2 sec π x 2 tan π x 2 π x 2 '

f ' ' x = π 2 4 sec π x 2 tan π x 2

Passo 3

b )

Para saber onde a função é crescente ou decrescente em x de - 1 a 1 , temos que analisar o sinal da primeira derivada. Ora, onde a primeira derivada é positiva e negativa, depois é só saber que...

f ' x > 0                             f x       c r e s c e n t e

f ' x < 0                             f x   d e c r e s c e n t e

Como a...

f ' x = π 2 sec π x 2

π 2 sec π x 2 > 0

sec π x 2 > 0

Bem, é chato trabalhar com a secante então...

1 cos π x 2 > 0

Para essa fração ser positiva, basta que...

cos π x 2 > 0

E isso só acontece quando o ângulo está entre - 90 ° e + 90 °

- π 2 < π x 2 < π 2

Multiplicando todo mundo por 2 ...

- π < π x < π

E dividindo todo mundo por π ...

- 1 < x < 1

Repare que em precisamos olhar onde a função é decrescente, porque só queremos olhar saber do intervalo - 1 ,   1 , e nesse intervalo, a função é inteiramente positiva.

Passo 4

c )

O gráfico de f x terá a concavidade voltada para baixo quando a segunda derivada for negativa...

f ' ' x < 0

Como...

f ' ' x = π 2 4 sec π x 2 tan π x 2

π 2 4 sec π x 2 tan π x 2 < 0

Bem, π 2 4 é uma constante positiva e sec π x 2 no intervalo pedido, já sabemos que é positivo também... Então a única forma dessa expressão ser negativa é se...

tan π x 2 < 0               π x 2 < 0          

x < 0

Então, o intervalo dentro de - 1,1 em que a função terá a concavidade para baixo é...

x ( - 1,0 ]

Resposta

a )      

f ' x = π 2 sec π x 2               e             f ' ' x = π 2 4 sec π x 2 tan π x 2

b )

x - 1 ,   1         f x   c r e s c e n t e

c )

x ( - 1 ,   0 ]

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