Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2016.2, Questão ME2

Sobre

lim x 0 0 x 2 e 2 t + 3 d t x 2

é correto afirmar que :

  1. Seu valor é 1
  2. Seu valor é 0
  3. Seu valor é 2
  4. Seu valor é 3
  5. O limite não existe

Passo 1

Meio louca essa questão ein, um limite com uma integral no numerador, sendo que um dos limites de integração da integral é x 2 , que por acaso também é o denominador....Até me perdi agora.

Mas na real passando da fase de susto e parando pra olhar a questão com calma, podemos ver que não tem muito mistério não. Temos que:

lim x 0 0 x 2 e 2 t + 3 d t = 0 0 e 2 t + 3 d t = 0

E também :

lim x 0 x 2 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então nosso limite

lim x 0 0 x 2 e 2 t + 3 d t x 2

deu numa indeterminação “ 0 / 0 ”, onde podemos usar o sempre solícito l’Hôpital!

lim x 0 0 x 2 e 2 t + 3 d t x 2 = lim x 0 0 x 2 e 2 t + 3 d t ' x 2 '

Passo 3

Pra achar a derivada do numerador, vamos ter que aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia:

0 x 2 e 2 t + 3 d t ' = e 2 x 2 + 3   . x 2 ' = e 2 x 2 + 3   . 2 x

Então o limite ficou:

lim x 0 e 2 x 2 + 3   . 2 x 2 x = lim x 0 e 2 x 2 + 3 = 1 + 3 = 4 = 2

Resposta

Letra (c)

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