Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

UFPE, Álgebra Linear, PF - 2015.1, Questão 2ab

Considere Equation .

Equation Mostre que Equation é injetiva.

Equation Por que Equation e o Teorema do Núcleo e da Imagem implicam que Equation é um isomorfismo? Justifique.

Passo 1

Equation Para que Equation seja injetiva precisamos que Equation . Em outras palavras, precisamos que a única solução do sistema abaixo seja Equation :

Equation

Onde a matriz do sistema é a representação de Equation na base canônica.

Se escalonarmos a matriz aumentada teremos:

Equation

Pronto, essa foi rápida haha. Como nenhuma linha ficou zerada, a matriz é injetiva e Equation também é!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

-

Equation Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, ou pros mais íntimos, Equation , temos:

Equation

Da letra Equation temos que Equation . Logo:

Equation

Como a dimensão da imagem é igual a dimensão do domínio, temos que a transformação é sobrejetiva.

Como ela é injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo, Equation é bijetiva, ou seja, é um isomorfismo.

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