Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

UFRJ, Álgebra Linear, P3 - 2016.1, Questão 14

Considere as seguintes afirmações:

  1. Existe uma transformação linear Equation que é sobrejetiva.
  2. Existe uma transformação linear Equation tal que a dimensão do núcleo seja igual à da imagem.

Qual das opções abaixo é a CORRETA?

Equation A afirmativa Equation é falsa e Equation é falsa

Equation A afirmativa Equation é falsa e Equation é verdadeira

Equation A afirmativa Equation é verdadeira e Equation é falsa

Equation A afirmativa Equation é verdadeira e Equation é verdadeira

Passo 1

Afirmativa Equation :

Para que essa transformação seja sobrejetiva precisamos que a dimensão da imagem seja igual à do contra domínio:

Equation

Então, pelo Equation :

Equation

Equation

Ou seja, não tem nenhum problema em existir uma transformação linear Equation que é sobrejetiva, basta que a dimensão do seu núcleo seja Equation .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Afirmativa Equation :

Vamos aplicar o Equation de novo:

Equation

Mas ele fala que a dimensão do núcleo é igual a da imagem, então:

Equation

Equation

Novamente, não há problema nenhum nisso! Só teríamos problemas se a equação nos desse dimensões fracionárias ou negativas, ou ainda se a dimensão da imagem ficasse maior que a do contra domínio. Como nenhuma dessas coisas aconteceu, também pode existir uma transformação linear Equation tal que a dimensão do núcleo seja igual à da imagem.

Resposta

Letra Equation

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