Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

UFPE, Álgebra Linear, 2º EE - 2018.1, Questão 1ab

Considere a transformação linear Equation dada por:

Equation

(a) T é injetora? Justifique.

(b) T é sobrejetora? T é bijetora? Justifique. Calcular uma base da imagem de T.

Passo 1

(a) Sabemos que se

Equation

ou seja, se o único elemento do núcleo for o vetor nulo, então a transformação linear T é injetora.

Vamos calcular o núcleo de T então.

Para isso igualamos a transformação ao vetor nulo.

Equation

Vamos ficar com o sistema linear:

Equation

Da segunda equação, tiramos que:

Equation

Equation

Somando a primeira e a terceira equação:

Equation

Substituindo Equation nessa última equação:

Equation

Equation

Equation

Logo:

Equation

Então os elementos do núcleo são os elementos do domínio da forma:

Equation

Então, o único elemento do núcleo vai ser o vetor:

Equation

Como o núcleo não é vazio, a transformação não é injetora.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) Vamos usar o Teorema do Núcleo-Imagem pra responder essa questão.

Lembrando: o teorema diz que se temos uma transformação

Equation

Então:

Equation

Nessa questão, nossa transformação é:

Equation

Portanto, o domínio é o Equation e:

Equation

Na letra (a), calculamos o núcleo de T e vimos que:

Equation

Logo:

Equation

Substituindo essas duas informações no teorema:

Equation

Equation

Equation

O contradomínio da nossa transformação T é o Equation e:

Equation

Como:

Equation

A transformação T é sobrejetora.

Porém, como ela não é injetora (vimos isso na letra (a)!), a transformação não é bijetora.

Passo 3

Já que T é sobrejetora, seu contradomínio é igual à imagem.

Logo, uma base para a imagem de T pode ser a base canônica do Equation mesmo:

Equation

Resposta

(a) T não é injetora

(b) T é sobrejetora, mas não é bijetora.

Equation

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