Exercícios Resolvidos de Teorema Núcleo Imagem

UFPE, Álgebra Linear, 2º EE - 2014.2, Questão 2bc

Considere a transformação linear Equation dada pela fórmula

Equation

Equation Determine uma base para no Núcleo Equation e uma base para a Imagem Equation da transformação.

Equation Equation é injetora?

Passo 1

Equation Vamos começão com o núcleo:

Equation

Equation

De Equation temos:

Equation

Logo, uma base para o núcleo é:

Equation

Bom, se o núcleo tem dimensão Equation , pelo Equation a imagem tem dimensão Equation . Também sabemos que a imagem pertence ao Equation , o contradomínio de Equation . Po o que é um espaço de dimensão Equation no Equation ? É o Equation inteiro!! Então uma base para a imagem é:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Equation Como vimos no Passo Equation , o núcleo de Equation é Equation , logo, por definição, Equation é injetora.

Resposta

Equation Base para o Núcleo: Equation

Base para a Imagem: Equation

Equation Sim.

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