Exercícios Resolvidos de Teoremas de Pappus

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 201, 5/92

Ache o volume V do sólido gerado pela revolução da área sombreada por 90 ° em torno do eixo z .

Passo 1

Para achar o volume temos que usar a seguinte equação:

V = π r - A

O r - é a distância do centro da figura até o eixo z (que é o eixo em torno do qual a figura gira). Porém, não sabemos onde está localizado o centro desta figura aqui:

Mas perceba que a nossa figura é um quadrado do qual foi retirado um pedaço de círculo... Isso te lembra alguma coisa?

Se você pensou em corpos compostos acertou!!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, vamos começar achando o centróide da nossa figura.

Para o quadrado, vamos ter a seguinte área:

A q u a d = r 2

Já a área do pedaço correspondente a 1 4 de círculo é:

A c í r c = π r 2 4

Não esqueça que a área do pedaço do círculo é negativa, pois estamos o retirando da área do quadrado.

Passo 3

Vamos achar a coordenada x - da centróide de cada uma das partes que compõe a nossa figura.

Para o quadrado vamos ter o seguinte:

x - = a + r 2

Antes de achar o centróide do pedaço correspondente a 1 4 de círculo devemos saber que a posição do centróide fica assim:

Então, o nosso pedaço de círculo fica assim:

x - = a + r - 4 r 3 π

Passo 4

Vamos montar a tabela para facilitar nossos cálculos:

A área total será a soma das duas áreas:

A = r 2 - π r 2 4  

Agora vamos multiplicar cada área por sua respectiva coordenada x - :

A q u a d x - = r 2 a + r 2                     A q u a d x - = a r 2 + r 3 2

E:

A c í r c x - = - π r 2 4 a + r - 4 r 3 π                   A c í r c x - = - π a r 2 4 - π r 3 4 + r 3 3

Então, nossa tabela completa fica assim:

A soma das expressões que acabamos de achar é:

x - A = a r 2 + r 3 2 - π a r 2 4 - π r 3 4 + r 3 3

  x - A = a r 2 - π a r 2 4 - π r 3 4 + 5 r 3 6

Então, a coordenada X - é:

X - = x - A A               X - = a r 2 - π a r 2 4 - π r 3 4 + 5 r 3 6   r 2 - π r 2 4

Repare que a coordenada r - é justamente o nosso X - !!!

Passo 5

Agora temos que calcular o volume V do sólido:

V = θ r - A

Repare que a coordenada r - é justamente o nosso X - :

r - = X -

E a área A também já calculamos:

A = r 2 - π r 2 4

O ângulo θ corresponde a quanto a figura gira em torno do eixo z e no nosso caso é 9 0 ° , mas temos que passar isso para radianos. Vamos fazer uma regra de 3 sabendo que 180 ° corresponde a π radianos:

180 °                 π 9 0 °                     θ

���

θ = π 2

Agora sim podemos calcular o volume:

V = θ r - A

V = π 2 a r 2 - π a r 2 4 - π r 3 4 + 5 r 3 6   r 2 - π r 2 4 ( r 2 - π r 2 4   )

V = π r 2 2 a - π a 4 - π r 4 + 5 r 6

Podemos ajeitar mais ainda esta equação:

V = π r 2 2 a 1 - π 4 + r 5 6 - π 4

V = π r 2 2 a 4 - π 4 + r 10 - 3 π 12

V = π r 2 8 a 4 - π + r 10 - 3 π 3

Resposta

V = π r 2 8 a 4 - π + r 10 - 3 π 3

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