Exercícios Resolvidos de Teste da Derivada Segunda Inconclusivo

UFRJ, Cálculo 2, PF - 2015.2, Questão E1

Seja

f x , y = x 4 + y 4

Então ( 0,0 ) é:

  1. Ponto de máximo local e não absoluto
  2. Ponto de mínimo local e não absoluto
  3. Ponto de sela
  4. Ponto de mínimo local e absoluto

Passo 1

Calcular gradiente:

f x , y = f x , f y

f x , y = 4 x 3 ,   4 y 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar pontos críticos:

f = 0

4 x 3 ,   4 y 3 = 0,0

Passo 3

Igualando as coordenadas:

4 x 3 = 0   4 y 3 = 0

Então:

x = 0   y = 0

Então o único ponto crítico é 0,0 .

Passo 4

Vamos analisar que tipo de ponto crítico é este:

P 0 = 0,0

Calculando derivadas segundas:

f x x = x f x = x 4 x 3 = 12 x ²

f y y = y f y = y 4 y 3 = 12 y ²

f x y = x f y = x 4 y 3 = 0

Passo 5

Calculando essas derivadas no ponto P 0 = 0,0 :

f x x P 0 = 12.0 2 = 0

f y y P 0 = 12.0 2 = 0

f x y P 0 = 0

Passo 6

Calculando H P 0 :

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

H P 0 = 0 0 0 0

H P 0 = 0 0 - 0 0

H P 0 = 0

Opa, chegamos no caso em que o teste da derivada segunda é inconclusivo.

Passo 7

Então, vamos analisar o sinal da nossa função.

Temos

f x , y = x 4 + y 4

x 4 0

y 4 0

Isso acontece sempre, certo?

Então,

f x , y 0

Passo 8

Agora, observe uma coisa:

No ponto crítico ( 0,0 ) , a função vale

f 0,0 = 0 4 + 0 4 = 0

Assim, temos que

f x , y f ( 0,0 )

Para qualquer ( x , y ) .

E isso define que a origem é o ponto de mínimo local e global de f .

Resposta

Letra d.

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